2

用反证法. 若 $f$ 有两个不动点 $x_1, x_2$ , 显然这两个同样也是 $f\kern -0.2em \scriptsize\circ \normalsize \kern -0.4emf$ 的不动点.

4

(1)

无穷多个.

(2)

不妨设 $f(x)=y$ . 显然有 $f(y)=x$ .又不妨设 $x\geqslant y$ , 那么显然有 $f(y)\geqslant f(x)$ , 由递增可知 $f(x)\geqslant f(y)$ . 那么就只有 $f(x)=f(y)$ , 也就是 $f(x)=x$ . 这是唯一解.

6

有
$$ f(1+1)=f(2) = 2f(1) $$
用数学归纳法, 假设对于 $n$ , $f(n)=nf(1)$ 成立, 那么有
$$ f(n+1)=f(n)+f(1)=(n+1)f(1) $$
证毕.

7

$$ (f(x+l)=f(x))\to(f(x-l)=f(x)) $$

因此有 $f(l)=f(0), f(-l)=f(0)$ , 自然就是常函数.

8

反证法.

若是, 则有
$$ \begin{aligned} \sin (x+l)^2&=\sin x^2\\ \sin (x^2+2xl+l^2)&=\sin x^2 \end{aligned} $$
而
$$ \sin(x^2+2k\pi)=\sin x^2 $$
那么只能
$$ 2k\pi=2xl+l^2 $$
显然不可能 ($x$ 是变量).

对于第二个函数, 则有

$$ \begin{aligned} \sin (x+l)+\cos(\sqrt2(x+l))&=\sin x+\cos\sqrt2x\\ \sin(x+l)-\sin x&=\cos\sqrt2x-\cos(\sqrt2(x+l))\\ 2\cos\left(\frac{2x+l}{2}\right)\sin\left(\frac{l}{2}\right)&=-2\sin\left(\frac{2\sqrt2x+\sqrt2l}{2}\right)\sin\left( \frac{-\sqrt2l}{2}\right) \end{aligned} $$

移项后显然不成立 (变量与定值).

9

如果有一个函数 $f$ ,一个实数 $t$ , 不妨设 $f(t)=a, f(-t)=b$ .令 $g(t)+h(t)=a. g(t)-h(t)=b$ . 很明显, $g(t),h(t)$ 有唯一解. 再令 $g(-t)=g(t),h(-t)=-h(t)$ , 很显然有 $g(-t)+h(-t)=b$ . 对于任意的 $t$ 都可以如此构造, 我们可以得到一个偶函数 $g(t)$ , 一个奇函数 $h(t)$ , 使得 $g(t)+h(t)=f(t)$ .