主要内容

介绍了 $\Delta\text{-system}$ 这种特殊的集簇, 以及 $\Delta\text{-system lemma}$ 的证明.

简单介绍

如果一个集簇 $\mathscr{A}$ 满足 $\forall x,y\in \mathscr{A}(x\cap y=r)$ , $r$ 是某个确定的集合, 那么这个集簇就叫做 $\Delta\text{-system}$ , $r$ 叫做这个 $\Delta\text{-system}$ 的根.

$\Delta\text{-system lemma}$

令 $\kappa$ 是某个不可数基数, 若正则基数 $\theta>\kappa$ 且满足 $\forall \alpha<\theta(|\alpha^{<\kappa}|<\theta)$ , 那么对某个集簇 $\mathscr{A}$ 若其满足 $|\mathscr{A}|\geqslant\theta$ 并且 $\forall x\in\mathscr{A}(|x|<\kappa)$ , 那么就存在子集 $\mathscr{B}\sub\mathscr{A}$ , $|\mathscr{B}|=\theta$ 且 $\mathscr{B}$ 是 $\Delta\text{-system}$ .

证明

事实上, 我们可以假设 $|\mathscr{A}|=\theta$ , 那么根据题设有 $\bigcup{\mathscr{A}}\leqslant\theta$ . 而由于 $\mathscr{A}$ 中的元素具体是什么与这个结论成立与否没有关系, 那么我们就可以假设 $\bigcup{\mathscr{A}}\subset\theta$ . 那么我们就得知 $\forall x\in \mathscr{A}(\exist\rho<\theta, \rho\cong x)$ , 即每个 $x$ 都有其对应的序. 又由于 $\theta$ 的正则性并且 $\theta>\kappa$ , 因此存在序数 $\rho<\theta$ 使得 $|{x\in\mathscr{A}\mid x\cong \rho}|=\theta$ , 否则有 $\forall \rho <\theta, \sup{x\in\mathscr{A}\mid x\cong \rho}<\theta$ , 然而又有 $\bigcup_\rho{x\in\mathscr{A}\mid x\cong \rho}=\mathscr{A}$ , 这意味着 ${\sup{x\in\mathscr{A}\mid x\cong \rho}}$ 与 $\theta$ 共尾, 违背了 $\theta$ 的正则性. 那么取这样的一个序数 $\rho$ , 令 $\mathscr{A_1}={x\in\mathscr{A}\mid x\cong \rho}$ , 现在我们只对 $\mathscr{A}_1$ 做研究.

从 $\forall \alpha<\theta(|\alpha^{<\kappa}|<\theta)$ 中我们可以得知, $\mathscr{A}_1$ 中的元素是 $\alpha$ 的子集的数量少于 $\theta$ , 这是因为 $(\mathscr{P}(\alpha)\cap \mathscr{A})\subset\alpha ^{<\kappa}<\theta$. 这意味着 $\bigcup \mathscr{A}_1$ 和 $\theta$ 共尾. 取 $x\in\mathscr{A}_1$ , 令 $x(\xi)$ 为 $x$ 的第 $\xi$ 个元素, 显然存在一些 $\xi$ 使得 ${x(\xi)\mid x\in \mathscr{A}}$ 和 $\theta$ 共尾 (由 $\theta$ 的正则性可得) . 取 $\xi_0$ 为 最小的这样的 $\xi$​ . 令

$$ \alpha_0=\sup\{x(\eta)+1\mid x\in \mathscr{A}\wedge\eta<\xi_0\} $$ 这样就有 $\alpha_0<\theta$ 且对于任意的 $x\in\mathscr{A},\eta<\xi_0$ 有 $x(\eta)<\alpha_0$ . 对 $\mu<\theta$ 做递归, 令 $x_{\mu}\in\mathscr{A}$ 满足 $$ x_{\mu}(\xi_0)>\max(\alpha_0,\sup\{x_\nu(\eta)\mid \nu<\mu,\eta<\xi_0\}) $$ 令 $\mathscr{A}_2=\{x_{\mu}\mid \mu<\theta\}$ , 容易验证 $\forall x,y\in\mathscr{A}, x\not=y((x\cap y)\subset\alpha_0)$ , 而 $|\alpha_0^{<\kappa}|<\theta$ , $|x\cap y|<\kappa$ , 这意味着 $\alpha_0$ 的所有小于 $\kappa$ 大小的子集的数量小于 $\theta$, 也就是说存在 $r\subset\alpha_0,\mathscr{B}\subset\mathscr{A}_0$ , 使得 $\mathscr{B}$ 是一个 $\Delta\text{-system}$ 且满足 $|\mathscr{B}|=\theta, \forall x,y\in\mathscr{B}(x\cap y=r)$​ .