1

利用定理 2.2.2 即可.

2

将多项式方程按次数排序 (一次多项式, 两次多项式$\cdots$) , 显然, 每个次数多项式方程的解是可数的, 而多项式方程所有的次数是可数的. 根据定理 2.2.2 , 代数数是可数的.

3

按区间中间与零点的距离排序, 右边优先.

4

将 $[0, 1]$ 间所有数换成二进制小数即可.

5

显然 $x$ 无法在这个排列中找到, 因此 $\mathrm{R}$ 不可数.

6

考虑一个直线集合 $L$ .首先我们选定一条直线 $l$ , 找到另一条直线 $l’$ 使得 $l’\parallel l$ , 同时 $l’\not\in L$ .这是容易找到的, 因为与 $l$ 垂直的直线上的点是不可数的, 而 $L$ 是可数集, 那么说明与 $l$ 垂直的直线上必然存在一个点使得过该点的平行于 $l$ 的直线 $l’$ 不属于 $L$ . 从而我们可以得知, $L$ 中的其他直线最多与 $l’$ 有一个交点. 那么将这些交点也划为一个集合 $P$ (交点集) , 这个集合显然是至多可数的, 而 $l’$ 上有不可数个点, 这说明必然有点不被 $L$ 中的直线覆盖, 证毕.