1

当 $x$ 足够大, 时有
$$
p(x)=x^3(1-\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}-\frac{6}{x^x})>\frac{x^3}{2}
$$
显然 $\lim_{n\to\infty}p(n)=+\infty$ .

而当 $x$ 足够小时同理.

2

$$
\frac{1}{n}(1+2+\dots+n)=\frac{1+n}{2}
$$

显然.

3

由求和公式显然.

4

$$
n(\sqrt n-\sqrt{n+1})=-\frac{n}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}<-\frac{n}{2\sqrt{n+1}}=-\frac{\sqrt{n+1}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{n+1}}
$$

两边取极限可得.

5

$$
\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{n+i}}>\frac{n}{2\sqrt{2n}}=\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt 2}
$$

两边取极限可得.