2

这说明存在 ${x^*}_n\to {x_0}^-,x_{*n}\to {x_0}^-$ , 使得 $f({x^*}_n)\to\mathop{\lim\sup}_{x\to {x_0}^-}f(x), f({x_*}_n)\to\mathop{\lim\inf}_{x\to {x_0}^-}f(x)$ . 根据介值定理在 $n3

(1)

显然的.

(2)

根据 $\sup$ 的定义, 对于任意 $\epsilon>0$ 都有 $x\in A$ 使得 $\sup A\geqslant x>\sup A-\epsilon$ , 这说明我们可以在 $A=\{f(x)\colon 0<|x-x_0|<\frac{1}{n}\}$ 中找到 $\sup A\geqslant f(x_n)>\sup A-\frac{1}{n}$ , 显然 $f(x_n)\to\lim_{\delta\to 0^+}\varphi(\delta)$ . 因此 $\lim_{\delta\to 0^+}\varphi(\delta)=\mathop{\lim\inf}_{x\to x_0}f(x)$ . $\inf$ 同理.