1

(1)

等价于

$$ \lim_{n\to \infty}\frac{1/n}{\ln(n/(n-1))} $$ 由 1.6 节练习题 10 可得 $$ \lim_{n\to \infty}\frac{1/n}{\ln(n)-\ln(n-1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{1/n+\varepsilon_n-\varepsilon_{n-1}}=1 $$

(3)

等价于

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1/\sqrt{n}}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}=\lim_{n\to\infty}1-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n-1}} = 0 $$

(4)

等价于

$$ 0\leqslant\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n\sqrt{n}-(n-1)\sqrt{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt n}{(n-1)\sqrt{n-1}+\sqrt n}\leqslant\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n\sqrt{n-1}}=0 $$ 因此极限为 $0$ .

2

等价于

$$ \lim_{n\to\infty}\mathrm{e}^{(\sum_{i=1}^n\ln(i)/n^2)}=\mathrm{e}^{\lim_{n\to\infty}\ln(n)/(2n-1)}=1 $$

3

等价于

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{(2n-1)^2}{n^3-(n-1)^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{4n^2-4n+1}{3n^2-3n+1}=\frac{4}{3} $$

4

等价于

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{2n-1}=\frac{a}{2} $$

5

显然有

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}=0 $$ 但 $$ \frac{\sin n-\sin(n-1)}{1} $$

却没有极限.

6

只证明有限数的情况.

同样有
$$
A-\varepsilon<\frac{a_n-a_{n_0-1}}{b_n-b_{n_0-1}}<A+\varepsilon
$$
因此就有

$$ A-\epsilon\leqslant\mathop{\lim \inf}_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n_0-1}}{b_n-b_{n_0-1}}=\frac{a_{n_0-1}}{b_{n_0-1}}=\mathop{\lim \sup}_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n_0-1}}{b_n-b_{n_0-1}}\leqslant A+\varepsilon $$

令 $\varepsilon\to0$ 即可得.