2

(1)

只需找到对应的子列 ${a_{k_n}}$ , 然后运用极限的四则运算即可.

(2)

由 1.8 节得 $\inf_{k\geqslant n}-a_k=-\sup_{k\geqslant n}a_k$ . 因此等式显然成立.

(3)

$a_n>a^*-\sqrt\epsilon, b_n>b^*-\sqrt\epsilon$ , 于是就有 $a_nb_n>a_b_$ , 第一个左边不等式显然成立. 而又有

$$ \mathop{\lim\inf}_{n\to\infty}a_nb_n\leqslant\mathop{\lim\inf_{n\to\infty} a_nb^*}=b^*\mathop{\lim\inf a_n}_{n\to\infty} $$

显然第一个右边不等式也成立. 利用同样方法可以证明接下来的不等式.

(4)

同 (1).

3

依题意得存在 $N, n>N$ 时有 $a_n<(1+\epsilon)^n$ , 由此可得 $\lim_{n\to\infty}a_n/l^n=0$ . 这个关系是等价的.