主要内容

本文主要证明了当基数 $\kappa\geqslant\omega$ , 那么有 $\kappa \oplus \kappa=\kappa, \kappa \otimes \kappa=\kappa$​ .

简单介绍

这是一个重要的集合论定理, 无论是基数的幂 ($\alpha^\alpha$) 还是不可数集的不可数交, 都可以用这个定理导出.

定义

基数乘法和加法:

$\kappa\oplus\gamma=|\kappa\times\{0\}\cup\gamma\times\{1\}|$ , $\kappa\otimes\gamma=|\kappa\times\gamma|$​

证明

我们可以先证明基数加法, 即 $\kappa\geqslant\omega$, $\kappa\oplus\kappa=\kappa$ . 我们将使用超限归纳法. 命题等价于对于任意序数 $\alpha$ 都有 $|\alpha|\oplus|\alpha|=|\alpha|$ 对于某个序数 $\alpha\geqslant\omega$ , 若任意 $\beta<\alpha$ 都有 $|\beta|\oplus|\beta|=|\beta|$ , 那么分两种情况讨论. 假设 $\alpha$ 不是基数, 那么由于 $|\alpha|<\alpha$, 显然有 $|\alpha|\oplus|\alpha|=|\alpha|$ . 如果 $\alpha$ 是基数, 那么 $\alpha$ 一定是极限序数, 那么有 $\alpha=\sup\{\beta\mid \beta<\alpha\}$ , 根据基数加法的定义, 还有 $$ |\alpha|\oplus|\alpha|=\alpha\oplus\alpha=\left|\sup\{\beta\times\{0\}\cup\beta\times\{1\}\mid\beta<\alpha\}\right| $$ 而我们又得知对任意 $\beta<\alpha$, 都有 $\beta\times\{0\}\cup\beta\times\{1\}<\alpha$ (根据基数加法的定义), 这意味着 $\sup\{\beta\times\{0\}\cup\beta\times\{1\}\mid\beta<\alpha\}\leqslant\alpha$ , 即 $\left|\sup\{\beta\times\{0\}\cup\beta\times\{1\}\mid\beta<\alpha\}\right|\leqslant\alpha$ 但是又有 $\alpha\oplus\alpha\geqslant\alpha$ , 根据势的三歧性, 则有 $\alpha\oplus\alpha=\alpha$ , 即 $|\alpha|\oplus|\alpha|=|\alpha|$ . 根据超限归纳法知命题成立.$\quad\blacksquare$​

而乘法的证明是类似的, 利用超限归纳法, 下面只证明当 $\alpha$ 是基数的情况. 根据定义, 有
$$
|\alpha|\otimes|\alpha|=\alpha\otimes\alpha=\left|\sup{\beta\times\beta\mid\beta<\alpha}\right|
$$
那么就有

$$ |\alpha|\otimes|\alpha|=\left|\sup\{\beta\times\beta\mid\beta<\alpha\}\right|\leqslant\sup\{\beta\times\beta\mid\beta<\alpha\}\leqslant\alpha=|\alpha| $$ $\blacksquare$​