1

设函数 $f$ 在 $(x_0-r, x_0)$ ($r$ 是一个确定的正数) 上有定义. 设 $l$ 是一个给定的实数. 若对任意给定的 $\varepsilon>0$ , 存在一个 $\delta\in(0,r)$ , 使得当 $0<x_0-x<\delta$ 时, 有
$$
|f(x)-l|<\varepsilon,
$$
则称 $l$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的右极限, 表示成
$$
l=\lim_{x\to{x_0}^-}f(x).
$$

2

由定义显然.

8

即对于任意的 $\epsilon>0$ 存在 $N\in\mathbb{Z}$ 使得当 $n>N$ 时有 $|f(x_n)-A|<\epsilon$ . 由递增性可得, 任意 $x\in(x_N,x_0)$ 都有 $|f(x)-A|<\epsilon$ . 由此可证.

10

显然可以取得足够小的 $\delta>0$ , 使得有对于任意的某个 $N\in\mathbb{Z}$ 当 $n\leqslant N$ 时 $A_n$ 不包含于 $(x_0-\var,x_0+\var)$ , 因此对于 $x\in(x_0-\var,x_0+\var)$ 有 $|x-0|<\frac{1}{N}$ . 于是对于任意 $\epsilon>0$ , 只需找到 $N$ 使得 $\frac{1}{N}<\epsilon$ , 即可证明
$$
\lim_{x\to x_0}f(x)=0
$$
当然当 $x=0或1$ 时只有右极限与左极限 (都为 $1$) .

14

由 1.6 节可知, 原式可以等价于

$$ \lim_{n\to\infty}n\sin\left(2\pi n!\left({\mathrm e}_n\sum_{i=1}^n\frac{1}{i!}\right)\right) $$

其中 $\mathrm{e_n}=\mathrm{e}-\sum_{i=1}^n1/i!$ .

那么我们化简可得

$$ \begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}n\sin\left(2\pi n!\left(\epsilon_n\sum_{i=1}^n\frac{1}{i!}\right)\right)\\ =&\lim_{n\to\infty}n\sin\left(2\pi\epsilon_n\right)\\ =&\lim_{n\to\infty}2\pi n\epsilon_n\frac{\sin(2\pi\epsilon_n)}{2\pi\epsilon_n}\\ =&2\pi\lim_{n\to\infty}n\epsilon_n \end{aligned} $$

在这节同样我们可以知道
$$
\frac{n}{n!(n+1)}<n\epsilon_n<\frac{1}{n!}
$$
令 $n\to\infty$ 即可得最终极限为 $0$ .

15

在 $0$ 的邻域内始终存在 $x$ 使得 $g(x)=0$ .

16

与书中是类似证法.