主要内容

本文主要证明了序数的唯一性, 即若序数 $O_1 \cong O_2$ , 则有 $O_1=O_2$ , $\cong$ 是同构的意思.

简单介绍

序数是指一类集合, 满足:

  • 可传递性, 即其元素也是其子集.
  • 通过 $\in$ 关系构成良序集.

定义

定义 $0=\{\}$ , 即 $0$ 是空集.

证明

引理 1. 对于某个序数 $O\not=0$, 一定有 $0\in O$.

证明: 任取 $x\in O$, 若 $x\not=0$ , 则取 $x’$ 为 $x\cap O$ 的最小元, 易得 $x’=0$ , 否则可取 $x’’\in x’$ , 即可得出 $x’’\in x\cap O$ , 与 $x’$ 为最小元矛盾.$\quad\blacksquare$

引理 2. 记 $f\colon A\to B$ 为 $O_1$ 与 $O_2$ 之间保持结构的双射, 有 $f(0)=0$.

证明: 设 $f(0)=x\in O_2$, 若 $x\not=0$, 则有 $0\in O_2$ , 这说明 $f^{-1}(0)\in0$ , 这是不可能的.$\quad\blacksquare$

引理 3. 若 $x_1\in O_1$, 且有 $\forall x\in x_1, f(x)=x$ , 则有 $f(x_1)=x_1$.

证明: 不妨设 $f(x_1)=x_2\in O_2$ , 则有 $x_2=\{f(x)\mid \forall x\in x_1\}=\{x\mid \forall x\in x_1\}=x_1$ (这很容易证明, 用反证法即可) , 即 $f(x_1)=x_1$.$\quad\blacksquare$

现在来证明整个命题:

取集合 $C=\{x\mid f(x)\not=x\}\in O_1$ , 若其不是空集, 则存在最小元 $x'$, 满足 $\forall x\in x', f(x)=x$ , 但由引理 3可得 $f(x')=x'$ , 这就产生了矛盾即 $x'\not\in C$ , 这也就说明 $C$ 为空集. $\quad\blacksquare$

由上讨论可知不仅序数是唯一的, 他们之间的同构映射也是唯一的.

题外话

证明超穷归纳法也可以用类似的证明方法.