云玩家

1(1)不能, 在 $0$ 处 $f$ 极限不存在. (2)$x=0$ 处无定义, 但是在 $x=0$ 处有可去间断点, 因此如果补充定义, 那么该函数的定义域就是 $\mathbb{R}$ . (3)是. 这等价于连续的定义. (4)不能. $x_0$ 处不一定有定义, 且 $f(x_0)$ 的值无法从给定的公式计算 (也就是无关) . (5)由题意知$$f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)=0$$ 4(1)不连续. (2)不一定. 5 这说明$$f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)$$即$$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$$易得. 6不成立. 7$$\max(f(x), g(x))=\frac{f(x)+g(x)}{2}+\frac{|f(x)-g(x)|}{2}$$ 显然是连续函数. $\min$ 函数同理. 9$$\lim_{x\to {x_0}^+}F(x)=\lim_{x\to{x_0}^+}f(x+)=\lim_{x\to{x_0}^+}f(x)=f(x+)=F(x)$$ 10显然有 $f(nx)=nf(x)$ . 其 ...

2(1)由极限的加法可得. (2)由极限的乘法可得. (3)由极限的乘法可得. (4)只需证明 $$ \frac{1}{1+\alpha}+\alpha-1=o(\alpha) $$ 这等价于 $$ \lim_{x\to x_0}\frac{\alpha}{1+\alpha}=0 $$ 这是显然的.

将两个一维 array 所有的组合排列出你有两个一维数组: array1, array2 . 现在需要将它们的所有元素的组合排列出 (组合成二维数组). 1np.array(np.meshgrid(array1, array2).T.reshape(-1, 2) 求出二维数组中最大值位置你有一个二维数组: array , 求其中最大值的二维坐标. 1np.unravel_index(np.argmax(array), array.shape)

6.1在 $V$ 被不断更新的情况下, 式子左边的 $V(S_t)$ 与右边的是不等价的. 因为右边的 $V(S_t)$ 是没有更新的, 而左边的 $V(S_t)$ 却是已经更新的. 因此右边得再加上 $\alpha\delta_t$ . 6.2我们将整个走高速以及到家的过程简化成一个状态 $s_2$ , 从新办公楼到新停车场到高速的过程简化成 $s_1$ , 显然 $V(s_2)$ 与之前的是一样的, 于是我们如果采取时序差分只需一步就可以获得较准确的更新, 这样显然比蒙特卡洛整个走一遍再更新的效率要高, 且准确度是差不多的 (关键就在于 $V(s_2)$ , 即某些状态的价值仍然相当正确的) . 6.3因为无折扣, 所以 $\gamma=1$ , 又因为在多数情况下回报 $R=0$ , 所以根据 $\text{TD}$ 方法的更新公式多数情况的价值都不会改变 (仍是 $0.5$). 而第一幕, 应该是到达了左边的终止状态, 值改变了 $-0.5\alpha$ . 6.4不知如何回答. 但是总的来说, $\alpha$ 越小, 收敛约慢, 相同的结果也越好. 且同一参数下 (至少不是 ...

3 由和差化积可得 $$ \begin{aligned} &\lim_{x\to+\infty}(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x-1})\\ =&\lim_{x\to+\infty}2\cos \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2}\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2} \end{aligned} $$ 显然为 $0$ . 4 假设有 $$ \sin\sqrt{x+k}=\sin\sqrt{x}+\epsilon_x^k $$ 显然 $\lim_{x\to\infty}\epsilon_x^k=0$ , 由此可证得. 5 $$ \left|\lim_{x\to+\infty}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})\right|=\left|\lim_{x\to+\infty}\sin(\pi n+\epsilon_x)\right|=\left|\lim_{x\to\infty}\sin(\epsilon_x)\right|=0 $$ 因此有 $$ \lim_{x\to+\infty}\ ...

1设函数 $f$ 在 $(x_0-r, x_0)$ ($r$ 是一个确定的正数) 上有定义. 设 $l$ 是一个给定的实数. 若对任意给定的 $\varepsilon>0$ , 存在一个 $\delta\in(0,r)$ , 使得当 $0<x_0-x<\delta$ 时, 有$$|f(x)-l|<\varepsilon,$$则称 $l$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的右极限, 表示成$$l=\lim_{x\to{x_0}^-}f(x).$$ 2由定义显然. 8即对于任意的 $\epsilon>0$ 存在 $N\in\mathbb{Z}$ 使得当 $n>N$ 时有 $|f(x_n)-A|<\epsilon$ . 由递增性可得, 任意 $x\in(x_N,x_0)$ 都有 $|f(x)-A|<\epsilon$ . 由此可证. 10显然可以取得足够小的 $\delta>0$ , 使得有对于任意的某个 $N\in\mathbb{Z}$ 当 $n\leqslant N$ 时 $A_n$ 不包含于 $(x_0-\var,x_0+\var) ...

2用反证法. 若 $f$ 有两个不动点 $x_1, x_2$ , 显然这两个同样也是 $f\kern -0.2em \scriptsize\circ \normalsize \kern -0.4emf$ 的不动点. 4(1)无穷多个. (2)不妨设 $f(x)=y$ . 显然有 $f(y)=x$ .又不妨设 $x\geqslant y$ , 那么显然有 $f(y)\geqslant f(x)$ , 由递增可知 $f(x)\geqslant f(y)$ . 那么就只有 $f(x)=f(y)$ , 也就是 $f(x)=x$ . 这是唯一解. 6有$$f(1+1)=f(2) = 2f(1)$$用数学归纳法, 假设对于 $n$ , $f(n)=nf(1)$ 成立, 那么有$$f(n+1)=f(n)+f(1)=(n+1)f(1)$$证毕. 7$$(f(x+l)=f(x))\to(f(x-l)=f(x))$$ 因此有 $f(l)=f(0), f(-l)=f(0)$ , 自然就是常函数. 8反证法. 若是, 则有$$\begin{aligned}\sin (x+l)^2&=\sin x^2\ ...

1利用定理 2.2.2 即可. 2将多项式方程按次数排序 (一次多项式, 两次多项式$\cdots$) , 显然, 每个次数多项式方程的解是可数的, 而多项式方程所有的次数是可数的. 根据定理 2.2.2 , 代数数是可数的. 3按区间中间与零点的距离排序, 右边优先. 4将 $[0, 1]$ 间所有数换成二进制小数即可. 5显然 $x$ 无法在这个排列中找到, 因此 $\mathrm{R}$ 不可数. 6考虑一个直线集合 $L$ .首先我们选定一条直线 $l$ , 找到另一条直线 $l’$ 使得 $l’\parallel l$ , 同时 $l’\not\in L$ .这是容易找到的, 因为与 $l$ 垂直的直线上的点是不可数的, 而 $L$ 是可数集, 那么说明与 $l$ 垂直的直线上必然存在一个点使得过该点的平行于 $l$ 的直线 $l’$ 不属于 $L$ . 从而我们可以得知, $L$ 中的其他直线最多与 $l’$ 有一个交点. 那么将这些交点也划为一个集合 $P$ (交点集) , 这个集合显然是至多可数的, 而 $l’$ 上有不可数个点, 这说明必然有点不被 $L$ 中的直线覆 ...

2用数学归纳法可以证明 $f^n(a)=a$ . 4(1)既然是单射, 那么就有 $|f(A)|=|A|$ ($|A|$ 指的是这个集合中的元素个数) . 而又有 $f(A)\subseteq A$ .那么只能有 $f(A)=A$ . (2)上面的讨论同样说明映射 $f$ 是满射. 也就是说 $f$ 是双射, 自然 $f^{-1}$ 存在. (3)$$\mathrm A^n_n=n!​$$ 5先对这个集合的元素制定一个符号, 数字 $i$ 就代表第 $i$ 个元素. 那么只需令 $f$ 为$$f(i)=n-i+1$$即可.

1(1)等价于 $$ \lim_{n\to \infty}\frac{1/n}{\ln(n/(n-1))} $$ 由 1.6 节练习题 10 可得 $$ \lim_{n\to \infty}\frac{1/n}{\ln(n)-\ln(n-1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{1/n+\varepsilon_n-\varepsilon_{n-1}}=1 $$ (3)等价于 $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1/\sqrt{n}}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}=\lim_{n\to\infty}1-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n-1}} = 0 $$ (4)等价于 $$ 0\leqslant\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n\sqrt{n}-(n-1)\sqrt{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt n}{(n-1)\sqrt{n-1}+\sqrt n}\leqslant\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}} ...