云玩家

说在前面这个问题我还没有解决. 题目已知平面向量 $v_1,v_2,v_3,\cdots,v_n$ 满足 $\sum_{i=1}^n|\vec{v_i}|=1$ . 若必存在若干个向量, 它们的和的模不小于 $k$ , 求 $k$ 的最大值. 原题如下 给出的解法虽然很精彩, 但是并不是最大值 (最少是没证明 $1/4$ 是最大值) . 于是就产生了这个求最大值的想法. 猜想我猜测结果是 $1/3$ . 一些结果令 $P\subseteq {1,2,3,\cdots,n}$ , 且满足 $\left|\sum_{i\in P}v_i\right|$ 为所有向量相加的组合中能取到的最大值, 我们来考虑如何选取得到这个向量的集合. 设一个向量 $\vec{w}\not=\vec 0$ , 如何取向量并相加才能使得这个相加后的向量在 $\vec{w}$ 上的投影的模最大? 很显然, 取一条过原点的直线, 然后分别将直线的两边的所有向量相加 (在直线上的向量相加与否并不影响这个模的取值), 得到的两个向量必有一个在 $\vec{w}$ 上的投影的模是最大的, 但是这样取到的最大的模必然小于等 ...

发现一个不等式, 因此记录一下 (应该是正确的…吧)$$\sum_{i=1}^nk_i\sin(\theta_i)\geqslant\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(\frac{\sum_{i=1}^nk_i\theta_i}{\sum_{i=1}^nk_i}\right)\sum_{i=1}^n k_i,\qquad \theta_i\in[0,\frac{\pi}{2}]$$对于 $\cos$ 函数也有类似的结果.

旋转公式对于一个点 $P_0(x_0,y_0)$ 来说 , $P_1(x_0\cos\theta-y_0\sin\theta,x_0\sin\theta+y_0\cos\theta)$ 是 $P_0$ 旋转 $\theta$ 角度 (顺时针) 后对应的点. 这个公式的推导是很简单的, 但是它这样的形式似乎并没有什么显而易见的规律. 但是, 复数乘法可以给我们一些启示. 复数乘法的几何意义设 $z_1=a_1+b_1\mathrm{i}, z_2=a_2+b_2\mathrm{i}$ , 那么就有 $z_1z_2=a_1a_2-b_1b_2+(a_1b_2+a_2b_1)\mathrm{i}$ . 如果还看不出什么, 就进行三角换元, 令 $a_1=k_1\cos\alpha, b_1=k_1\sin\alpha, a_2=k_2\cos\beta,b_2=k_2\sin\beta$ , 那么就有 $k_1=|z_1|, k_2=|z_2|$ , 于是$$\begin{aligned}z_1z_2&=a_1a_2-b_1b_2+(a_1b_2+a_2b_1)\mathrm{i}\ ...

一开始我是想要用官网的 js 解析 .ggb 文件的, 结果发现速度太慢还一堆问题… 最后发现直接分享然后 iframe 引用才是最快最方便的. 打开 GeoGebra , 然后在制作好的图中点击分享 (如下图) 然后就会进入登录界面, 有账号直接登录, 没有就注册. 接着进入 GGB 官网 , 登录并进入个人主页 接着看 资源 中是否有你分享的图, 如果没有, 重新回到 GGB 再次尝试分享. 然后点击进入你要嵌入到网页的资源, 查看该资源 ID . 记下 ID, 然后就可以在需要展示 GGB 的地方用 iframe 引用了 1234567<iframe frameborder="no"title="随便写" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/刚刚记下的 ID/smb/false/stb/false/stbh/f ...

最近推了一个圆锥曲线的结论, 因此记录一下. 先上结论: 若有圆锥曲线 $\Gamma\colon\frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1$ ,$A$ 与 $B$ 不同时取负数 (这样就同时代表了双曲线和椭圆) , 那么对于一个在该圆锥曲线上的点 $P_1(x_1,y_1)$ 来说, 存在一个点 $P_2(\frac{A-B}{A+B}x_1,\frac{B-A}{A+B}y_1)$ . 若作直线 $l_1, l_2$ 过点 $P_0$ 且相互垂直, 那么这两条直线与该圆锥曲线异于 $P_0$ 的两个交点 $M,N$ 的连线恒过点 $P_1$ . 对于形如 $y^2=2px$ 的抛物线也有类似结论, 不过 $P_2$ 为 $(2p+x_1,-y_1)$. 如何得到 我们以椭圆为例. 设椭圆 $\Gamma\colon\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , 点 $P_2 (x_2, y_2)$ , 直线 $l_{MN}\colon y-y_2=k(x-x_2)$ 联立可得 $$ (a^2k^2+b^2)x^2+2 ...

将 Hexo 升级到 5.0 后, 发现 MathJax 与 Hexo 仍然有冲突. 然而网上大部分的方法对 5.0 版本的 Hexo 都没有用. 摸索许久后, 找到了一个比较不错的方法解决该问题. 即在公式前后加上 {% raw %} 与 {% endraw %}, 即 12345{% raw %}$$xxxxxx (公式内容)$${% endraw %} 就可以完美解决. 这绝对不是水文.

论文原文: Playing Atari with Deep Reinforcement Learning . DQN (Deep Q-Networks) 算法, 简单来说就是 Deep Learning + Q Learning. Q LearningQ Learning 实际上是维护一个 $Q$ 值表, 这个表可以认为是状态 $s$ 与动作 $a$ 的一个函数 $Q(s,a)$ , 其输出表示在状态 $s$ 下采用动作 $a$ 所获得的期望回报. 通过查询 $Q$ 值表, 就可以找出在某个状态 $s_t$ 下的最佳动作 $a_t$ . Q Learning 算法的要点就在于得到一个足够真实的 $Q$ 值表. 而 $Q$ 值表的更新, 则基于 Bellman 方程 (详情可见RL 基本概念). DQNDQN 的核心思想与 Q Learning 一样, 但区别就在于 $Q$ 函数. 在 Q Learning 中, $Q$ 函数是 $Q$ 值表, 也即一个个状态-动作对与期望回报的一一对应, 也就是离散的, 而在一些环境中 (比如 Atari 2600 games) 状态几乎是无穷多的, ...

一问题设 $n$ 为正整数, 且 $x\geqslant 0$ , $y\geqslant 0$ . 求证: 当 $n>1$ 时,$$\frac{x^n+y^n}{2}\geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^n,$$等号当且仅当 $x=y$ 时成立. 证明当 $n=1$ 时, 显然成立. 假设 $n=k$ 时命题成立, 那么有$$\begin{aligned}\left(\frac{x+y}{2}\right)^{k+1}&=\left(\frac{x+y}{2}\right)^{k}\frac{x+y}{2}\\&\leqslant\left(\frac{x^k+y^k}{2}\right)\frac{x+y}{2}\\&=\frac{x\cdot x^k+x\cdot y^k+y\cdot x^k+y\cdot y^k}{4}\end{aligned}$$又由于$$(y-x)y^k\geqslant(y-x)x^k$$对任意 $x,y$ 皆成立, 因此$$\begin{aligned}(y-x)y^k&\geqs ...

话不多说, 直接开整. 播放器文件下载并引入地址在 https://github.com/cnyist/player . 下载下来后放入 source 目录中 (主题或 Hexo 自带的皆可) , 然后用 iframe 引入 index.html 文件 1iframe(name="player", id="player", src="/player/", frameborder="0", onload="this.width=player.jp_container_N.scrollWidth;$('.songlist__item').each(function(){generate($(this).attr('id'))});", style="z-index:100; position:fixed; left:0px; bottom:0 ...

我是在差不多三年前看到过这张图的. 曾经对极限完全不了解的我, 简单的认为由于边长一直不变, 所以不能这么算. 前几天有个同学的问题突然又激发了我对这个问题的思考, 突然意识到了之前的我对这个问题理解的浅显, 弄明白了这样论证的问题所在以及它为什么看起来如此正确. 为什么是错误的?首先, 我们自然知道 $\pi=3.1415926\cdots$ , 而上面的论证中不断的重复折叠所得到的周长, 最终都不会收敛于圆的周长 (一直等于 $4$) . 但是这里就会有人疑惑了: 为什么最终得到的 $4$ 不是圆的周长呢? 明明折到最后就是个圆呀? 而这, 其实源于我们对图中表述 不断的重复 和 一个图形怎样才是圆形 的理解的混乱所致. 什么是不断的重复?在数学中, 有一个对应的概念, 即为极限. 重复次数设为 $n$ , 然后 $\lim n\to\infty$ 就可以认为是不断的重复了. 一个图形怎样才是圆形?为了方便表述, 我们只考虑一个单位半圆 (半径为 $1$) 的圆弧 通过适当的建系, 可以通过一个函数来描述它, 我们用 $f(x)$ 来表示这个半圆. 现在, 我们列出两个关于判定 ...