1

(1)

$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n-2}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n-2}\right)^{n-2}\left(1+\frac{1}{n-2}\right)^2=\mathrm{e} $$

2

显然当 $k=1$ 时成立. 假设对于 $k=i$ 成立, 那么有

$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{i+1}{n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{i}{n+1}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\mathrm{e}^{i+1} $$

因此对于 $i+1$ 同样成立, 得证.

3

利用提示.

4

利用提示.

5

易证.

6

由上一题可得.

7

右边不等式易证, 因此只证左边.

$$ \left(\frac{n}{n+k}\right)^{n+k}=1\cdot \left(\frac{n}{n+k}\right)\dots \left(\frac{n}{n+k}\right)<\left(\frac{1+n(n+k)/(n+k)}{n+k+1}\right)^{n+k+1}=\left(\frac{n+1}{n+k+1}\right)^{n+k+1} $$

因此就有
$$ \left(\frac{n+k}{n}\right)^{n+k}>\left(\frac{n+k+1}{n+1}\right)^{n+k+1} $$

因此显然.

8

~~积分秒解~~

$$ \begin{aligned} \ln(1+\frac{1}{n})&<\frac{1}{n}\\ \ln(1+n)&<\frac{1}{n}+\ln(n) \end{aligned} $$

因此
$$ \ln(1+n)<\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\dots+\frac{1}{2}+\frac{1}{1} +\ln1=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n} $$
又由于
$$ \begin{aligned} \ln(1+\frac{1}{n})&>\frac{1}{n+1}\\ \ln(1+n)&>\frac{1}{n+1}+\ln(n) \end{aligned} $$

同理

9

$$ \begin{aligned} 1+\frac{1}{2}+\dots\frac{1}{n}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}&>x_n>0\\ 1-\frac{1}{n+1}&>x_n>0 \end{aligned} $$

因此 $\{x_n\}$ 有界. 由于 $\ln(n+1)+\frac{1}{n+1}-\ln(n+2)>0$ , $\{x_n\}$ 是单调递增的, 因此极限存在.

10

易证.

11

$$ \begin{aligned} \left(\frac{n+1}{\mathrm{e}}\right)^n<\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^{n-1}\cdot n \end{aligned} $$ $$ \mathrm{e}\left(\frac{n+1}{\mathrm{e}}\right)^{n+1}>\mathrm{e}\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^{n}\cdot n $$

因此只需数学归纳法就可证明.

12

(怎么每次都被夹逼卡)

利用 11 题, 可得

$$ \frac{n+1}{\mathrm{e}n}<\frac{(n!)^{1/n}}{n}<\frac{(n+1)(n+1)^{1/n}}{\mathrm{e}n} $$

用 1.2 节例 4 的类似方法可证明 $\lim_{n\to\infty}(n+1)^{1/n}=1$ . 那么由夹逼定则就可证明.

13

$$ s_{n+m}-s_n=\frac{1}{(n+1)!}\left[1+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{(n+2)\cdots(n+m)}\right]>\frac{1}{(n+1)!}=\frac{n/(n+1)}{n!n} $$

14

$$ \begin{aligned} n!\mathrm{e}&=n!\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{3!}+\dots+\frac{1}{n!}+\frac{\theta_n}{n!n}\right)\\ &=n!+\frac{n!}{1!}+\dots+\frac{\theta_n}{n} \end{aligned} $$

显然 $0<\theta_n/n<1$ , 因此 $n!\mathrm{e}-[n!\mathrm{e}]=\theta_n/n$ , 两边取极限得等于 $0$.