3.1

1.确定游戏

闯关小游戏 (类似森林冰火人那种) , 游戏是确定的, 即你每次都可以用同样的方式获得同种分数

动作为上下左右, 可以考虑用相同时间间隔来进行离散处理, 通关给出正收益, 被攻击, 死亡给出负收益.

2.对弈

棋类游戏, 给定对手, 那么对手的行为的概率就是可预测的, 那么环境 (棋盘) 就可预测.

3.随机游戏

比如 2048.

2

不能. 环境信息决定于智能体的感知能力, 如果感知能力不够强 (不是上帝视角) , 那么同样的环境信息就可能是不同的情况, 那么这样的任务就不是 $\text{MDP}$ 框架.

3

个人觉得是第一个层次 (即方向盘) . 首先要考虑 “动作” 操控 (实际操作) 的难度. 比如说轮胎、肌肉、思想这种层面, 即使训练好了, 如何方便之前的做出这种动作仍是一种困难. 而且要控制动作的数量. 肌肉要控制的地方太多了, 会导致训练的参数很多, 收敛慢. 而且还要便于人类理解. 人类就是操控方向盘来与环境交互的, 以方向盘层次作为训练的动作更容易理解.

4

这是我在别的地方找到的答案. 但我认为这样的答案是错误的 (或者是题目没有出得足够严谨) .

要知道 $r_{\text{search}},r_{\text{wait}}$ 在文中的定义是 “期望数量 (期望收益)” , 重点关注 “期望” , “期望” 并不能作为 $p(s’,r\mid s,a)$ 中的 $r$ , 因为取得期望的概率在绝大多数的情况下不是 $1$ , 甚至是 $0$ . 这里的 $r$ 应该取 $0,1,2,3\cdots$ , 并且给出 $r$ 取 $0,1,2,3\cdots$ 的条件概率才能够做这道题. 但题目也不可能这么出, 因此我猜测出题人要的答案应该就是如此, 但是他出的这道题目并不对应这个答案 (出题不严谨) .

5

$$ \sum_{s'\in \mathcal S}\sum_{r\in\mathcal R}p(s',r\mid s,a)=1, 对于所有s\in(\mathcal S\backslash 终结状态),a\in\mathcal A(s). $$

6

每次的回报都是 $-\gamma^K$ , $K$ 是每一幕失败前的步数. 区别在于持续性任务将所有失败的事件都考虑了 (失败会大于等于一次) .

7

可能没有采用折扣, 导致机器人认为只要走出迷宫即可, 不需要考虑时间的长短.

8

$$ G_5=0, G_4=2, G_3=4,G_2=8, G_1=6,G_0=4 $$

9

$$ G_1=7\sum_{i=1}^\infty 0.9^{i-1}=70, G_0=2+0.9\cdot70=65 $$

10

中学等比数列+一丢丢极限(不严谨甚至可以直接忽略极限).

11

$$ \sum_{a}\pi(a|s=S_t)\sum_{s',r}p(s',r\mid s=S_t,a)r $$

12

$$ v_{\pi}(s)=\sum_{a}\pi(a\mid s)q_{\pi}(s,a) $$

13

$$ q_\pi(s,a)=\sum_{s',r}p(s',r\mid s,a)(r+\gamma v_{\pi}(s')) $$

14

$$ (2.3+0.4-0.4+0.7)/4\approx0.7 $$

15

应该是相对大小.

$$ v_c=\frac{c}{1-\gamma} $$

16

会, 因为 $v_c$ 对每个状态来说都不一样了 (距离终结状态的距离不同) . 举例懒得举.

17

$$ q_{\pi}(s,a)=\sum_{s',r}p(s',r\mid s,a)\left[r+\gamma \sum_{a'}q_\pi(s',a')\pi(a'\mid s')\right] $$

18

$$ v_\pi(s)=\mathbb{E}_{a\sim\pi(a\mid s)}[q_\pi(s,a)]=\sum_{a}\pi(a\mid s)q_{\pi}(s,a) $$

19

$$ q_\pi(s,a)=\mathbb{E}_{s',r\sim p(s',r\mid s,a)}[r+v_\pi(s')]=\sum _{s', r}p(s',r\mid s,a)(r+\gamma v_{\pi}(s')) $$

20

绿色部分是 $-1$ , 洞口是 $0$ , 然后按照木杆的距离递减.

21

绿色部分是 $-1$ , 然后按照推杆的距离画一个 $-2$ 等值线, 然后以木杆的距离递减.

22

$$ \gamma=0:\pi_{\text{left}},\gamma=0.9:\pi_{\text{right}},\gamma=0.5:\pi_{\text{both}} $$

23

懒得写, 式 (3.20) 套进去就好.

24

$$ G=\sum_{i=0}^\infty 10\gamma^{5i},24.419 $$

25

$$ v_*(s)=\max_aq_*(s,a) $$

26

$$ q_*(s,a)=\sum_{s',r} p(s',r\mid s,a)[r+\gamma v_*(s')] $$

27

$$ \pi_*(a\mid s)=\max_aq_*(s, a) $$

28

$$ \pi_*(a\mid s)=\max_a\sum_{s',r} p(s',r\mid s,a)[r+\gamma v_*(s')] $$

29

$$ \begin{aligned} v_\pi(s)&=\sum_{s',a}p(s'\mid s,a)[r(s,a)+\gamma v_\pi(s')]\\ q_\pi(s,a)&=r(s,a)+\gamma\sum_{s'} p(s'\mid s,a)\sum_{a'}\pi(a'\mid s')q_\pi(s',a') \end{aligned} $$

最优价值函数同理.