1

(1)

当 $n>10$ 时, 数列单调递减, 而 $x_n>0$ , 因此极限存在.

(2)

数列单调递减, $x_n>0$ , 极限存在.

2

显然该数列单调递增, 但有 $x_n<2$ (由数学归纳法得) , 因此极限存在.

3

设数列 $\{a_n\}$ 是单调递增的, 若子列 $\{a_{k_n}\}$ 收敛, 说明 $a_{k_n}

对递减数列同理.

4

已经有提示了.

易得 $a_{n+1}>a_n$ , 即 $\{a_n\}$ 是单调数列, 由题意知有界, 因此有
$$ (1-\lim_{n\to\infty}a_n)\lim_{n\to\infty}a_n\geqslant\frac{1}{4}, (1-\lim_{n\to\infty}a_n)\lim_{n\to\infty}a_n\leqslant\frac{1}{4} $$
那么只有
$$ \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{2} $$

5

$$ \begin{aligned} n^{n-1}&>(n-1)!\\ (n!)^{n-1}&>(n-1)!^n\\ (n!)^{1/n}&>(n-1)!^{1/(n-1)} \end{aligned} $$

6

易得 $x_n-x_1< \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$ , 而右边极限是存在的, 那么 $\{x_n\}$ 也就单调且有界, 即极限存在.