1

(1)

不能, 在 $0$ 处 $f$ 极限不存在.

(2)

$x=0$ 处无定义, 但是在 $x=0$ 处有可去间断点, 因此如果补充定义, 那么该函数的定义域就是 $\mathbb{R}$ .

(3)

是. 这等价于连续的定义.

(4)

不能. $x_0$ 处不一定有定义, 且 $f(x_0)$ 的值无法从给定的公式计算 (也就是无关) .

(5)

由题意知

$$ f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)=0 $$

4

(1)

不连续.

(2)

不一定.

5

这说明

$$ f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x) $$ 即 $$ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon $$

易得.

6

不成立.

7

$$ \max(f(x), g(x))=\frac{f(x)+g(x)}{2}+\frac{|f(x)-g(x)|}{2} $$

显然是连续函数.

$\min$ 函数同理.

9

$$ \lim_{x\to {x_0}^+}F(x)=\lim_{x\to{x_0}^+}f(x+)=\lim_{x\to{x_0}^+}f(x)=f(x+)=F(x) $$

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显然有 $f(nx)=nf(x)$ . 其中 $n$ 为整数. 对于 $x_0$ , 我们考虑如下数列: $x_i=\frac{1}{10^i}$ , $|x-n_ix_i|<\frac{1}{10^i}$ . 很显然这样的 $n_i$ 是可以取到的. 而又有 $f(n_ix_i)=n_if(x_i)=n_if(\frac{1}{10^i})=\frac{n_i}{10^i}f(1)=n_ix_if(1)$ 那么只需令 $i\to\infty$ , 我们可以得到 $n_ix_i\to x_0$ , 由连续性得 $f(x_0)=x_0f(1)$ .