3

由和差化积可得 $$ \begin{aligned} &\lim_{x\to+\infty}(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x-1})\\ =&\lim_{x\to+\infty}2\cos \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2}\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2} \end{aligned} $$ 显然为 $0$ .

4

假设有 $$ \sin\sqrt{x+k}=\sin\sqrt{x}+\epsilon_x^k $$ 显然 $\lim_{x\to\infty}\epsilon_x^k=0$ , 由此可证得.

5

$$ \left|\lim_{x\to+\infty}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})\right|=\left|\lim_{x\to+\infty}\sin(\pi n+\epsilon_x)\right|=\left|\lim_{x\to\infty}\sin(\epsilon_x)\right|=0 $$ 因此有 $$ \lim_{x\to+\infty}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})=0 $$

7

原式等于 $$ \lim_{n\to+\infty}n^{x-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $$ 只有当 $x\in(-\infty,1]$ 时函数才有意义, 其中 $f((-\infty,1))=\{0\}$ , $f(1)=\mathrm{e}$ .

8

$$ \begin{aligned} \sum_{_{k=1}}^n\frac{|ka_k\sin{kx}|}{|kx|}&\leqslant\frac{|\sin x|}{|x|}\\ \lim_{x\to 0}\sum_{_{k=1}}^n\frac{|ka_k\sin{kx}|}{|kx|}&\leqslant\lim_{x\to 0}\frac{|\sin x|}{|x|}\\ \sum_{_{k=1}}^n|ka_k|&\leqslant1 \end{aligned} $$