(史济怀) 数学分析教程上册第 3 版-练习题 2.5
3
由和差化积可得
$$
\begin{aligned}
&\lim_{x\to+\infty}(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x-1})\\
=&\lim_{x\to+\infty}2\cos \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2}\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2}
\end{aligned}
$$
显然为 $0$ .
4
假设有
$$
\sin\sqrt{x+k}=\sin\sqrt{x}+\epsilon_x^k
$$
显然 $\lim_{x\to\infty}\epsilon_x^k=0$ , 由此可证得.
5
$$ \left|\lim_{x\to+\infty}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})\right|=\left|\lim_{x\to+\infty}\sin(\pi n+\epsilon_x)\right|=\left|\lim_{x\to\infty}\sin(\epsilon_x)\right|=0 $$因此有
$$
\lim_{x\to+\infty}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})=0
$$
7
原式等于
$$
\lim_{n\to+\infty}n^{x-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
$$
只有当 $x\in(-\infty,1]$ 时函数才有意义, 其中 $f((-\infty,1))=\{0\}$ , $f(1)=\mathrm{e}$ .
8
$$ \begin{aligned} \sum_{_{k=1}}^n\frac{|ka_k\sin{kx}|}{|kx|}&\leqslant\frac{|\sin x|}{|x|}\\ \lim_{x\to 0}\sum_{_{k=1}}^n\frac{|ka_k\sin{kx}|}{|kx|}&\leqslant\lim_{x\to 0}\frac{|\sin x|}{|x|}\\ \sum_{_{k=1}}^n|ka_k|&\leqslant1 \end{aligned} $$本博客所有文章除特别声明外,均采用 CC BY-NC-SA 4.0 许可协议。转载请注明来自 云玩家!