(史济怀) 数学分析教程上册第 3 版-练习题 2.4

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设函数 $f$ 在 $(x_0-r,x_0)$ ($r$ 是一个确定的正数) 上有定义. 设 $l$ 是一个给定的实数. 若对任意给定的 $\epsilon >0$ , 存在一个 $\delta \in (0,r)$ , 使得当 $0

$$|f(x)-l|<\epsilon ,$$

则称 $l$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的右极限, 表示成

$$l=\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x).$$

2

由定义显然.

8

即对于任意的 $ϵ>0$ 存在 $N\in \mathbb{Z}$ 使得当 $n>N$ 时有 $|f(x_n)-A|<ϵ$ . 由递增性可得, 任意 $x\in (x_N,x_0)$ 都有 $|f(x)-A|<ϵ$ . 由此可证.

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显然可以取得足够小的 $\delta >0$ , 使得有对于任意的某个 $N\in \mathbb{Z}$ 当 $n⩽N$ 时 $A_n$ 不包含于 $(x_0-\text{var},x_0+\text{var})$ , 因此对于 $x\in (x_0-\text{var},x_0+\text{var})$ 有 $|x-0|<\frac{1}{N}$ . 于是对于任意 $ϵ>0$ , 只需找到 $N$ 使得 $\frac{1}{N}<ϵ$ , 即可证明

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0$$

当然当 $x=0\mathrm{或}1$ 时只有右极限与左极限 (都为 $1$) .

14

由 1.6 节可知, 原式可以等价于

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\sin (2\pi n!\left({\mathrm{e}}_n\sum _{i=1}^n\frac{1}{i!}\right))$$

其中 ${\mathrm{e}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{e}-\sum _{i=1}^{n}1/i!$ .

那么我们化简可得

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\sin (2\pi n!\left({ϵ}_n\sum _{i=1}^n\frac{1}{i!}\right))\\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\sin \left(2\pi {ϵ}_n\right)\\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2\pi n{ϵ}_n\frac{\sin (2\pi {ϵ}_n)}{2\pi {ϵ}_n}\\ =& 2\pi \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{ϵ}_n\end{array}$$

在这节同样我们可以知道
$$ \frac{n}{n!(n+1)}令 $n\to \mathrm{\infty }$ 即可得最终极限为 $0$ .

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在 $0$ 的邻域内始终存在 $x$ 使得 $g(x)=0$ .

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与书中是类似证法.