2

用数学归纳法可以证明 $f^n(a)=a$ .

4

(1)

既然是单射, 那么就有 $|f(A)|=|A|$ ($|A|$ 指的是这个集合中的元素个数) . 而又有 $f(A)\subseteq A$ .那么只能有 $f(A)=A$ .

(2)

上面的讨论同样说明映射 $f$ 是满射. 也就是说 $f$ 是双射, 自然 $f^{-1}$ 存在.

(3)

$$
\mathrm A^n_n=n!​
$$

5

先对这个集合的元素制定一个符号, 数字 $i$ 就代表第 $i$ 个元素.

那么只需令 $f$ 为
$$
f(i)=n-i+1
$$
即可.