(史济怀) 数学分析教程上册第 3 版-练习题 2.10

1

假设是无界的, 那么由本节前面内容可推出 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$ 或 $\underset{x\to b}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$ . 由一致连续的定义可推出矛盾.

2

如果是有限区间, 有

$$f(a)+g(a)=\underset{x\to a}{lim}f(x)+\underset{x\to a}{lim}g(x)=\underset{x\to a}{lim}f(x)+g(x)$$

说明 $f(a)+g(a)$ 是连续的. 如果是开区间只需补充两边定义即可成为闭区间, 而由该节内容可知闭区间中的连续函数必然一致连续.

如果是无穷区间, 就不一定成立, 比如 $f(x)=g(x)=x$ .

3

补充定义, 然后和上一题有限区间情况类似.

4

由题目可得, 对于任意的 $ϵ/4>0$ 存在 $b>0$ , 使得当 $x⩾b$ 时, 有 $|f(x)-f(+\mathrm{\infty })|<ϵ/4$ . 由此可得当 $x_1,x_2>b$ 时, 有

$|f(x_1)-f(x_2)|<ϵ/2$ . 选取区间 $[a,b]$ , 显然 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续. 因此对于任意 $ϵ>0$ , 若 $x_1,x_2>b$ , 那么 $\delta$ 取多大都可以, 若 $x_1,x_2\in [a,b]$ , 由于本来就是一致连续, 对应的 $\delta$ 自然也存在. 对于 $x_1\in [a,b],x_2>b$ 的情况. 只需取 $\delta$ 满足 $\mathrm{\forall }x,x^{\prime }\in [a,b],|x-x^{\prime }|<\delta ,[f(x)-f(x^{\prime })]<ϵ/2$ 即可, 因为

$$|f(x_1)-f(x_2)|⩽|f(x_1)-b|+|f(x_2)-b|<ϵ$$

5

一致连续加减一致连续还是一致连续.

6

求根公式

显然该函数单调递增, 因此可以肯定 $(0,1)$ 中必有一根.

7

(1)

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n+\phi (x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n(1+\frac{\phi (x)}{x^n})=+\mathrm{\infty }$$

同理得

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n+\phi (x)=-\mathrm{\infty }$$

由零点定理可得必有一实根.

(2)

与 $(1)$ 类似, 我们有

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^n+\phi (x)=+\mathrm{\infty }$$

取 $f(x)=x^n+\phi (x)$

因此对于存在 $A>0$ , 使得存在 $x_0$ 使得 $f(x_0)0$,\mathrm{使}\mathrm{得}$f(x_1)=A$.\mathrm{且}\mathrm{存}\mathrm{在}$x_2>0$\mathrm{使}\mathrm{得}\mathrm{当}$|x|\geqslant x_2$\mathrm{时},\mathrm{有}$f(x)>A$.\mathrm{取}\mathrm{闭}\mathrm{区}\mathrm{间}$[-x_2, x_2]$,\mathrm{该}\mathrm{闭}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{是}\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{区}\mathrm{间},\mathrm{且}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{在}\mathrm{该}\mathrm{闭}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{连}\mathrm{续},\mathrm{因}\mathrm{此}\mathrm{在}\mathrm{此}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{的}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{必}\mathrm{然}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{下}\mathrm{界},\mathrm{且}\mathrm{该}\mathrm{下}\mathrm{界}\mathrm{必}\mathrm{然}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{于}\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{中},\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{称}\mathrm{为}$f(x_{*})$.\mathrm{显}\mathrm{然}$x_1\in[-x_2, x_2]$,\mathrm{因}\mathrm{此}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{有}$f(x_*)\leqslant f(x_1)=A$,\mathrm{这}\mathrm{表}\mathrm{明}$y=x_*$ 是符合题意的.

8

令函数 $g_n(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{n})$ . 那么有 $g_n(0)=f(0)-f(\frac{1}{n})$ , $g_n(1-\frac{1}{n})=f(1-\frac{1}{n})-f(1)$ .

假设 $f(\frac{1}{n})>f(0),f(1-\frac{1}{n})>f(1)$ , 那么问题结束 (小于的情况类似, 不做讨论) . 如果不是这样, 假设 $f(\frac{1}{n})x_1$\mathrm{的}\mathrm{存}\mathrm{在},\mathrm{与}$x_1$ 的最大性矛盾.

9

等价于 $f(x)=a$ 有至少两个解. $f(a)-a<0$ , 这说明在 $(-\mathrm{\infty },a)$ 与 $(a,+\mathrm{\infty })$ 之中各有至少一个解.

10

记 $g(x)=x+f(x)$ , 显然这导致 $g(x)$ 的值域为无理数. 而若 $g(x)$ 是连续的, 那么根据介值定理以及有理数的稠密性, 必然存在 $x_0$ 使得 $g(x_0)$ 为有理数 ($g(x)$ 不可能为常值函数), 这说明 $g(x)$ 不是连续的, 同样, $f(x)$ 也不会是连续的.

11

(1)

$$kx-f(x)-(ky-f(y))=k(x-y)-(f(x)-f(y))⩾0$$

(2)

令 $g(x)=(1-k)x+kx-f(x)$ . 显然 $g(x)$ 递增, 且有

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=+\mathrm{\infty }$$

12

假设周期为 $T$ , 任取 $x_0\in \mathbb{R}$ , 显然函数在闭区间 $[x_0,x_0+T]$ 是一致连续的. 自然在其他的区间内也是一致连续的.

由于一致连续的函数加减并不影响一致连续的性质, 即只需证明 $\sin (x^2)$ 不是一致连续的即可, 这是容易证明的.