(史济怀) 数学分析教程上册第 3 版-练习题 2.11

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这说明存在 ${x^{\ast }}_n\to {x_0}^{-},x_{\ast n}\to {x_0}^{-}$ , 使得 $f({x^{\ast }}_n)\to {limsup}_{x\to {x_0}^{-}}f(x),f({x_{\ast }}_n)\to {liminf}_{x\to {x_0}^{-}}f(x)$ . 根据介值定理在 $n

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(1)

显然的.

(2)

根据 $sup$ 的定义, 对于任意 $ϵ>0$ 都有 $x\in A$ 使得 $supA⩾x>supA-ϵ$ , 这说明我们可以在 $A=\{f(x):0<|x-x_0|<\frac{1}{n}\}$ 中找到 $supA⩾f(x_n)>supA-\frac{1}{n}$ , 显然 $f(x_n)\to \underset{\delta \to 0^{+}}{lim}\phi (\delta )$ . 因此 $\underset{\delta \to 0^{+}}{lim}\phi (\delta )={liminf}_{x\to x_0}f(x)$ . $inf$ 同理.