(史济怀) 数学分析教程上册第 3 版-练习题 1.8

3

由于 $(n/(n-1){)}^{(n-1)}<\mathrm{e}<3⩽4-1⩽n-1,n⩾4$ 因此有 $\sqrt[n]{n}<\sqrt[n-1]{n-1}$ . 然后又有 $1<\sqrt{2}=\sqrt[4]{4}<\sqrt[3]{3}$ . 所以上确界是 $\sqrt[3]{3}$ , 下确界是 $1$ .

4

根据上下确界的定义, 可以找到两个子列极限分别为上下确界, 数列自然不收敛.

5

一个有界数列 $\{a_n\}$ , 我们找出它任意一个上界 $A$ 与下界 $B$ , 取用二分法将 $[A,B]$ 分为两个区间, 显然两个区间之中至少有一个有无穷多个数列的项在其中. 不停重复这个过程, 根据闭区间套定理可得一个极限 $a$ , 由我们选取的过程可得存在子列趋近于 $a$ .