问题

为一个矩阵, 其中每一块为一个矩阵. 假设可逆且. 那么有.

证明

由于可逆且, 所以两边左乘. 那么有

这已经很接近我们的答案了.

将矩阵沿主对角线旋转 (即转置) 与沿副对角线旋转并不改变行列式的值, 即

而根据上面的推导, 有

那么也就是说

$\blacksquare$

问题

对于形如

阶行列式称为范德蒙德行列式, 并且有

证明

我们用数学归纳法证明. 当时, 显然成立. 假设该结论对阶范德蒙德行列式成立, 那么对于阶范德蒙德行列式有

即从下到上每行减去上一行的倍. 从而我们有

$\blacksquare$