先上皮亚诺公理:

  1. 0 是自然数；
  2. 每一个确定的自然数 a，都有一个确定的后继数 a’，a’ 也是自然数；
  3. 对于每个自然数b、c，b = c 当且仅当 b 的后继数 = c 的后继数；
  4. 0 不是任何自然数的后继数；
  5. 任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数 0 是真的，且假定它对自然数 a 为真时，可以证明对 a’ 也真。那么，命题对所有自然数都真。

第五条公理事实上保证了数学归纳法的正确性. 但是看到这里也许就会有些疑惑, 数学归纳法的成立是自然的呀? 为什么还需要一个第五公理? 对于自然数 $0$ 成立, 并且可以从 $a$ 正确推出 $a'$ 成立, 不就能从 $0$ 开始一直推然后遍历整个自然数集么?

但事实上并非如此, 我们之所以会认为 “能从 $0$ 开始一直推然后遍历整个自然数集” 是因为我们被现有的自然数集的概念束缚住了, 认为某个数 $a$ 一定能由 $0$ 一直取后继数得到. 但是我们仔细查看公理, 并没有说明 (事实上也无法证明) 一个自然数一定可以由 $0$ 一直取后继数得到. 并且虽然公理 4 说明了 $0$ 不是任何自然数的后继数, 但是这并不代表自然数中只有 $0$ 不是任何自然数的后继数, 我们假设 $a$ 是自然数, $a\not =0$ , 并且 $a$ 不是任何自然数的后继数, 事实上 $a$ 的存在并没有违反任意一条公理, 但是由于其不是任何自然数的后继数, 自然也就无法由 $0$ 一直取后继数来得到, 也就是说如果没有第五公理, 即使能够证明某个命题 “对自然数 0 是真的，且假定它对自然数 a 为真时，可以证明对 a’ 也真。” 也不能推出该命题对于 $a$ 是真的. 因此第五公理的目的就是为了确保数学归纳法对于类似 $a$ 这样的数也可以成立. 当然, 就算整个自然数中只有 $0$ 不是自然数的后继数, 仍然可以存在自然数 $a\not=0$ 且 $a$ 不能由 $0$ 一直取后继数得到, 因为这并不违反公理.

例如 (下标只是一种记号) :
$$ 0\rightarrow1\rightarrow2\rightarrow3\rightarrow4\rightarrow\cdots $$
与
$$ \cdots \rightarrow a_{-4}\rightarrow a_{-3}\rightarrow a_{-2}\rightarrow a_{-1}\rightarrow a_0\rightarrow a_1\rightarrow a_2\rightarrow a_3\rightarrow a_4\rightarrow\cdots $$
这两条链式结构之间没有相同元素 (显然是符合皮亚诺公理的) . 然而如果没有第五公理, 从 $0$ 开始的数学归纳法显然不会对下面那条链成立 (虽然对上面那条链成立).