先上皮亚诺公理:

  1. 0 是自然数
  2. 每一个确定的自然数 a,都有一个确定的后继数 a’a’ 也是自然数;
  3. 对于每个自然数bcb = c 当且仅当 b 的后继数 = c 的后继数;
  4. 0 不是任何自然数的后继数;
  5. 任意关于自然数的命题,如果证明:它对自然数 0 是真的,且假定它对自然数 a 为真时,可以证明对 a’ 也真。那么,命题对所有自然数都真。

第五条公理事实上保证了数学归纳法的正确性. 但是看到这里也许就会有些疑惑, 数学归纳法的成立是自然的呀? 为什么还需要一个第五公理? 对于自然数成立, 并且可以从正确推出成立, 不就能从开始一直推然后遍历整个自然数集么?

但事实上并非如此, 我们之所以会认为 “能从开始一直推然后遍历整个自然数集” 是因为我们被现有的自然数集的概念束缚住了, 认为某个数一定能由一直取后继数得到. 但是我们仔细查看公理, 并没有说明 (事实上也无法证明) 一个自然数一定可以由一直取后继数得到. 并且虽然公理 4 说明了不是任何自然数的后继数, 但是这并不代表自然数中只有不是任何自然数的后继数, 我们假设是自然数,, 并且不是任何自然数的后继数, 事实上 的存在并没有违反任意一条公理, 但是由于其不是任何自然数的后继数, 自然也就无法由一直取后继数来得到, 也就是说如果没有第五公理, 即使能够证明某个命题 “对自然数 0 是真的,且假定它对自然数 a 为真时,可以证明对 a’ 也真。” 也不能推出该命题对于是真的. 因此第五公理的目的就是为了确保数学归纳法对于类似这样的数也可以成立. 当然, 就算整个自然数中只有不是自然数的后继数, 仍然可以存在自然数不能由一直取后继数得到, 因为这并不违反公理.

例如 (下标只是一种记号) :

这两条链式结构之间没有相同元素 (显然是符合皮亚诺公理的) . 然而如果没有第五公理, 从开始的数学归纳法显然不会对下面那条链成立 (虽然对上面那条链成立).