行列式具有良好的性质, 通常它是线性代数中较为基本的内容. 而行列式有非常直观的几何性质, 其绝对值是以矩阵中的向量为棱的在标准正交基下的平行四边形 (六面体) 的体积, 当维数超过三维时, 有类似的结果, 我们可以称其为 “广义平行六面体” 的体积. 我们给出广义平行六面体体积的一个递归定义. 设矩阵, 其中第行向量即为广义平行六面体的一个棱,

为平行六面体的底, 而以正交于的分量作为的高, 将分为两个正交分量, 而可以被线性表示, 那么就有

而该广义平行六面体的体积等于底面 (以作为棱的低一维的广义平行六面体) 的体积与高 () 的乘积. 在广义平行六面体低于三维时, 其体积与长度, 面积相对应.

引理 1: 以为棱的广义平行六面体的体积的平方等于.

证明:矩阵, 因此方阵. 现在对进行归纳: 当时,为行向量, 于是为长度的平方, 因此时成立.

假设, 且对于的情况引理 1 成立. 那么我们可以将分为

而由于可以由线性表示, 于是可以左乘初等矩阵将中的通过减去其余向量相应倍数消去, 并且由于, 因此不会影响结果

我们用来代替, 并且将去除后的部分用表示

因此有

因为, 因此.

而根据行列式的递归定义, 可得

由归纳假设与广义平行四面体体积定义得,是底面体积的平方, 而是高的长度的平方, 于是相乘就是体积的平方. 证毕

由引理 1, 我们可以轻松证明行列式的几何意义.