行列式具有良好的性质, 通常它是线性代数中较为基本的内容. 而行列式有非常直观的几何性质, 其绝对值是以矩阵中的向量为棱的在标准正交基下的平行四边形 (六面体) 的体积, 当维数超过三维时, 有类似的结果, 我们可以称其为 “广义平行六面体” 的体积. 我们给出广义平行六面体体积的一个递归定义. 设 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵, 其中第 $k$ 行向量 $L$ 即为广义平行六面体 $V$ 的一个棱,
$$ \newcommand\xrule{\rule[.5ex]{2em}{.4pt}} \left[\begin{matrix} &\vdots&\\\\ \xrule& L_k&\xrule\\\\ &\vdots& \end{matrix}\right] $$
以 $L_2,L_3,\dots L_n$ 为平行六面体 $V$ 的底, 而以 $L_1$ 正交于 $L_2,L_3,\dots L_n$ 的分量 $H$ 作为 $V$ 的高, 将 $L_1$ 分为两个正交分量 $H$ 与 $G$, 而 $G$ 可以被 $L_2,L_3,\dots L_n$ 线性表示, 那么就有
$$ L_1=H+G\\\\H\perp G\\\\H\perp L_2,L_3,\dots L_n\\\\ G=a_2L_2+a_3L_3+\dots+a_nL_n $$
而该广义平行六面体的体积等于底面 (以 $L_2,L_3,\dots L_n$ 作为棱的低一维的广义平行六面体) 的体积与高 ($|M|$) 的乘积. 在广义平行六面体低于三维时, 其体积与长度, 面积相对应.

引理 1: 以 $L_2,L_3,\dots L_n$ 为棱的广义平行六面体的体积的平方等于 $\det(AA^{\mathrm{T}})$ .

证明: $A$ 是 $m\times n$ 矩阵, 因此 $AA^{\mathrm{T}}$ 是 $m\times m$ 方阵. 现在对 $m$ 进行归纳: 当 $m=1$ 时, $A$ 为行向量, 于是 $AA^{\mathrm T}$ 为长度的平方, 因此 $m=1$ 时成立.

假设 $m>1$ , 且对于 $m-1$ 的情况引理 1 成立. 那么我们可以将 $L_1$ 分为 $H+G$
$$ \newcommand\xrule{\rule[.5ex]{2em}{.4pt}} \left[\begin{matrix} \xrule &L_1&\xrule\\\\ \xrule &L_2&\xrule\\\\ &\vdots& \\\\ \xrule &L_m&\xrule\\\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} \xrule &H+G&\xrule\\\\ \xrule &L_2&\xrule\\\\ &\vdots&\\\\ \xrule &L_m&\xrule\\\\ \end{matrix}\right] $$
而由于 $G$ 可以由 $L_2,L_3,\dots L_n$ 线性表示, 于是可以左乘初等矩阵将 $L_1$ 中的 $G$ 通过减去其余向量相应倍数消去, 并且由于 $\det(E)=1$ , 因此不会影响结果
$$ \det\Big((EA)(EA)^{\mathrm T}\Big)=\det\Big((EA)(A^{\mathrm T}E^{\mathrm{\mathrm T}})\Big)=\det(AA^{\mathrm{T}}) $$
我们用 $A^*$ 来代替 $EA$ , 并且将 $A^*$ 去除 $H$ 后的部分用 $D$ 表示
$$ A^*=\left[\begin{matrix} \xrule & H&\xrule\\\\ \xrule &L_2&\xrule\\\\ &\vdots& \\\\ \xrule &L_m&\xrule\\\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} \xrule &H&\xrule\\\\ \xrule &D&\xrule\\\\ \end{matrix}\right] $$
因此有
$$ \newcommand\lrule{\rule[.5ex]{.4pt}{2em}} A^*{A^*}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{matrix} \xrule &H&\xrule\\\\ \xrule &D&\xrule\\\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} \lrule &\lrule \\\\ H^{\mathrm T}&D^\mathrm T\\\\ \lrule &\lrule \\\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} HH^{\mathrm T}&HD^{\mathrm T}\\\\ DH^\mathrm T&DD^\mathrm T \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} HH^{\mathrm T}&0\\\\ 0&DD^\mathrm T \end{matrix}\right] $$
因为 $H\perp D$ , 因此 $HD^{\mathrm T}=DH^{\mathrm T}=0$ .

而根据行列式的递归定义, 可得
$$ \det\left(\left[\begin{matrix} HH^{\mathrm T}&0\\\\ 0&DD^\mathrm T \end{matrix}\right]\right)=HH^\mathrm T\cdot\det(DD^\mathrm T) $$
由归纳假设与广义平行四面体体积定义得, $\det(DD^\mathrm T)$ 是底面体积的平方, 而 $HH^\mathrm T$ 是高的长度的平方, 于是相乘就是体积的平方. 证毕

由引理 1, 我们可以轻松证明行列式的几何意义.
$$ \begin{aligned} \det(AA^\mathrm T)=\det(A)\det(A^\mathrm T)=\det(A)^2&=体积^2\\\\ |\det(A)|&= 体积 \end{aligned} $$