习题

1.1

表 $1.1$ 中若只包含编号为 $1$ 和 $4$ 的两个样例, 试给出相应的版本空间.

这应该不难理解吧,直接上表格.

编号 色泽 根蒂 敲声 好瓜
$1$ 青绿 蜷缩 浊响
$4$ 乌黑 稍蜷 沉闷

1.2

与使用单个合取式来进行假设表示相比, 使用 “析合范式” 将使得假设空间具有更强的表示能力. 例如
$$
好瓜 \leftrightarrow \big((色泽=)\wedge(根蒂=蜷缩)\wedge(敲声=)\big)\vee\big((色泽=乌黑)\wedge(根蒂=)\wedge(敲声=沉闷)\big)
$$
**会把 “$(色泽=
)\wedge(根蒂=蜷缩)\wedge(敲声=),$$” 以及 “$(色泽=乌黑)\wedge(根蒂=)\wedge(敲声=沉闷),$$” 都分类为 “好瓜” . 若使用最多包含 $k,$$ 个合取式的析合范式来表达 $1.1,$$ 西瓜分类问题的假设空间, 试估算共有多少种可能的假设.**

一共有 $3$ 个特征, 第一个特征有 $3$ 种取值(算上 $*$ ), 第二, 三个都是 $4$ 种取值.

每个合取式我们分为三项:色泽, 根蒂, 敲声.这里要注意某个项其实是可以同时选择两种取值的, 比如色泽这一项可以是 $\big((色泽=青绿)\wedge(色泽=乌黑)\big)$ 而不是只能有一个取值.

那么第一项只可能选择一个或两个取值, 取值是一个时有 $3$ 种可能, 取值为两种时只有 $1$ 种可能(即除了 $*$ 外的另两种一起取到), 其他项以此类推, 那么就有 $4\times7\times7=196$ 种合取式, 因此 $k_{ma\boldsymbol{x}}=196$.

所以可能的假设总数为 $\sum^{k_{ma\boldsymbol{x}}}{i=1}C{k_{ma\boldsymbol{x}}}^i$ , 即任意取 $1\sim k_{ma\boldsymbol{x}}$个合取式然后组合成的析合范式的数量.

当然我们这里不考虑冗余 (因为我懒) .

1.3

若数据包含噪声, 则假设空间中有可能不存在与所有训练样本都一致的假设. 在此情形下, 试设计一种归纳偏好用于假设选择.

当然是奥卡姆剃刀啦, “如无必要, 勿增实体”, 大概体现了一种哲学思想吧.

1.4*

本章 $1.4$ 节在论述 “没有免费的午餐” 定理时, 默认使用了 “分类错误率” 作为性能度量来对分类器进行评估. 若换用其他性能度量 $\ell$ ,则将式$(1.1)$改为
$$
E_{ote}(\mathfrak{L}_a\mid X,f)=\sum_h\sum_{\boldsymbol{\boldsymbol{x}}\in \mathcal{X}-X}P(\boldsymbol{\boldsymbol{x}})\ell(h(\boldsymbol{\boldsymbol{x}}),f(\boldsymbol{\boldsymbol{x}}))P(h\mid X,\mathfrak{L}_a)
$$
试证明 “没有免费的午餐定理” 仍成立.

其实和原来的推导差不多. 对所有可能的 $f$ 按均匀发布对误差求和, 有
$$
\begin{aligned}

\sum_fE{ote}(\mathfrak{L}a\mid X,f)&=\sum_f\sum_h\sum{\boldsymbol{x}\in \mathcal{X}-X}P(\boldsymbol{x})\ell(h(\boldsymbol{x}),f(\boldsymbol{x}))P(h\mid X,\mathfrak{L}a)\\

&=\sum_{\boldsymbol{x}\in\mathcal{X}-X}P(\boldsymbol{x})\sum_hp(h\mid X,\mathfrak{L})\sum_f\ell(h(\boldsymbol{x}),f(\boldsymbol{x}))\\

&=\sum_{\boldsymbol{x}\in\mathcal{X}-X}P(\boldsymbol{x})\sum_hp(h\mid X,\mathfrak{L})E(\ell)\\

&=E(\ell)\sum_{\boldsymbol{x}\in\mathcal{X}-X}P(\boldsymbol{x})\sum_hp(h\mid X,\mathfrak{L})\\

&=E(\ell)\sum_{\boldsymbol{x}\in\mathcal{X}-X}P(\boldsymbol{x})\cdot1\\

&=E(\ell)\sum_{\boldsymbol{x}\in\mathcal{X}-X}P(\boldsymbol{x})

\end{aligned}
$$
 $E(\ell)$ 为 $\ell$ 的数学期望(就是 $\ell$ 这个函数所有可能输出的均值去乘 $2^{|\mathcal{X}|}$, 因为 $f$ 是任意的. 反正是个常数.).
最终表达式与学习算法 $\mathfrak{L}$ 无关, 于是
$$
\sum_fE_{ate}(\mathfrak{L}\mid X,f)=\sum_fE_{ate}(\mathfrak{L}\mid X,f)
$$
所以 “没有免费的午餐定理” 仍成立.

1.5

试述机器学习能在互联网搜索的哪些环节起什么作用.

这个就多了, 比如搜索引擎, 图片搜索, 智能化推荐, 还有很多很多. 当然你还可以用机器学习来破解反爬虫, 比如识别简单的验证码.