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行列式具有良好的性质, 通常它是线性代数中较为基本的内容. 而行列式有非常直观的几何性质, 它是矩阵中以向量为棱的平行四边形 (六面体) 的有向体积, 当维数超过三维时, 有类似的结果, 我们可以称其为 “广义平行六面体” 的有向体积. 我们给出广义平行六面体体积的一个递归定义. 设 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵, 其中第 $k$ 行向量 $L$ 即为广义平行六面体 $V$ 的一个棱,
$$
\newcommand\xrule{\rule[.5ex]{2em}{.4pt}}
\left[\begin{matrix}
\xrule& L_1&\xrule\\\\
\xrule &L_2&\xrule\\\\
\vdots \\\\
\xrule &L_m&\xrule\\\\
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
\xrule &H+G&\xrule\\\\
\xrule &L_2&\xrule\\\\
\vdots\\\\
\xrule &L_m&\xrule\\\\
\end{matrix}\right]
$$
以 $L_2,L_3,\dots L_n$ 作为棱的平行六面体为 $V$ 的底,
$$
\newcommand\lrule{\rule[.5ex]{.4pt}{2em}}
A^*{A^*}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{matrix}
\xrule&H&\xrule\\\\
\xrule &D&\xrule\\\\
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
\lrule&\lrule\\\\
H^{\mathrm T}&D^\mathrm T\\\\
\lrule &\lrule\\\\
\end{matrix}\right]
$$
