Δ系统 (Δ-system) 引理

主要内容

介绍了 $\mathrm{\Delta }\text{-system}$ 这种特殊的集簇, 以及 $\mathrm{\Delta }\text{-system lemma}$ 的证明.

简单介绍

如果一个集簇 $\mathcal{A}$ 满足 $\mathrm{\forall }x,y\in \mathcal{A}(x\cap y=r)$ , $r$ 是某个确定的集合, 那么这个集簇就叫做 $\mathrm{\Delta }\text{-system}$ , $r$ 叫做这个 $\mathrm{\Delta }\text{-system}$ 的根.

$\mathrm{\Delta }\text{-system lemma}$

令 $\kappa$ 是某个不可数基数, 若正则基数 $\theta >\kappa$ 且满足 $\mathrm{\forall }\alpha <\theta (|{\alpha }^{<\kappa }|<\theta )$ , 那么对某个集簇 $\mathcal{A}$ 若其满足 $|\mathcal{A}|⩾\theta$ 并且 $\mathrm{\forall }x\in \mathcal{A}(|x|<\kappa )$ , 那么就存在子集 $\mathcal{B}\text{sub}\mathcal{A}$ , $|\mathcal{B}|=\theta$ 且 $\mathcal{B}$ 是 $\mathrm{\Delta }\text{-system}$ .

证明

事实上, 我们可以假设 $|\mathcal{A}|=\theta$ , 那么根据题设有 $\bigcup \mathcal{A}⩽\theta$ . 而由于 $\mathcal{A}$ 中的元素具体是什么与这个结论成立与否没有关系, 那么我们就可以假设 $\bigcup \mathcal{A}\subset \theta$ . 那么我们就得知 $\mathrm{\forall }x\in \mathcal{A}(\text{exist}\rho <\theta ,\rho \cong x)$ , 即每个 $x$ 都有其对应的序. 又由于 $\theta$ 的正则性并且 $\theta >\kappa$ , 因此存在序数 $\rho <\theta$ 使得 $|\{x\in \mathcal{A}\mid x\cong \rho \}|=\theta$ , 否则有 $\mathrm{\forall }\rho <\theta ,sup\{x\in \mathcal{A}\mid x\cong \rho \}<\theta$ , 然而又有 $\bigcup _{\rho }\{x\in \mathcal{A}\mid x\cong \rho \}=\mathcal{A}$ , 这意味着 $\{sup\{x\in \mathcal{A}\mid x\cong \rho \}\}$ 与 $\theta$ 共尾, 违背了 $\theta$ 的正则性. 那么取这样的一个序数 $\rho$ , 令 ${\mathcal{A}}_{\mathcal{1}}=\{x\in \mathcal{A}\mid x\cong \rho \}$ , 现在我们只对 ${\mathcal{A}}_1$ 做研究.

从 $\mathrm{\forall }\alpha <\theta (|{\alpha }^{<\kappa }|<\theta )$ 中我们可以得知, ${\mathcal{A}}_1$ 中的元素是 $\alpha$ 的子集的数量少于 $\theta$ , 这是因为 $(\mathcal{P}(\alpha )\cap \mathcal{A})\subset {\alpha }^{<\kappa }<\theta$. 这意味着 $\bigcup {\mathcal{A}}_1$ 和 $\theta$ 共尾. 取 $x\in {\mathcal{A}}_1$ , 令 $x(\xi )$ 为 $x$ 的第 $\xi$ 个元素, 显然存在一些 $\xi$ 使得 $\{x(\xi )\mid x\in \mathcal{A}\}$ 和 $\theta$ 共尾 (由 $\theta$ 的正则性可得) . 取 ${\xi }_0$ 为 最小的这样的 $\xi$​ . 令

$${\alpha }_0=sup\{x(\eta )+1\mid x\in \mathcal{A}\wedge \eta <{\xi }_0\}$$

这样就有 ${\alpha }_0<\theta$ 且对于任意的 $x\in \mathcal{A},\eta <{\xi }_0$ 有 $x(\eta )<{\alpha }_0$ . 对 $\mu <\theta$ 做递归, 令 $x_{\mu }\in \mathcal{A}$ 满足

$$x_{\mu }({\xi }_0)>max({\alpha }_0,sup\{x_{\nu }(\eta )\mid \nu <\mu ,\eta <{\xi }_0\})$$

令 ${\mathcal{A}}_2=\{x_{\mu }\mid \mu <\theta \}$ , 容易验证 $\mathrm{\forall }x,y\in \mathcal{A},x\ne y((x\cap y)\subset {\alpha }_0)$ , 而 $|{\alpha }_0^{<\kappa }|<\theta$ , $|x\cap y|<\kappa$ , 这意味着 ${\alpha }_0$ 的所有小于 $\kappa$ 大小的子集的数量小于 $\theta$, 也就是说存在 $r\subset {\alpha }_0,\mathcal{B}\subset {\mathcal{A}}_0$ , 使得 $\mathcal{B}$ 是一个 $\mathrm{\Delta }\text{-system}$ 且满足 $|\mathcal{B}|=\theta ,\mathrm{\forall }x,y\in \mathcal{B}(x\cap y=r)$​ .