简介

 函数如下定义

那么它是如何来的呢?

考虑如下的一个数列

这个数列可以用通项公式来表达, 即使为实数也是良好定义的. 现在我们来考虑阶乘. 在为整数时, 它是良好定义的, 但是当为实数时呢?等于多少? 欧拉于 1729 年完美的解决了这个问题, 由此导致了函数的产生.函数可以看作是定义在实数域的为什么不是呢? 后面会说明.

欧拉考虑了如下形式的积分 (至于为什么是如下形式积分, 请自行了解).

这里的并不是自然对数的底数, 而是任意实数. 由分布积分可得

因此

不断进行这个过程, 最终会得到

因此有

此时就已经可以表达实数域的了.

为了式子更加简化, 欧拉运用了亿点点计算技巧, 取并令.

首先令, 而有

时,.

带入式可得

积分左边显然等于, 那么右边等于什么呢?

上式等价于

使用洛必达法则

于是就简化成了

, (注意这里的为自然对数的底数) , 当.

这里要注意到.

因此

由于积分中的, 因此负号被抵消了.

这就是的积分表达, 而

所以, 为什么不是呢? 欧拉最早的函数定义还真是但是欧拉后来不知道出于什么原因, 修改了函数的定义, 使得有数学家猜测可能是欧拉研究了如下形式的积分

这个函数现在称为函数. 看, 多么有美感的一个式子, 如果, 那么就会变为

公式的美感就降低了.

其证明可以看我的这篇文章.

不过, 这只是一个定义, 并不需要太纠结.


参考资料

网络资料