1

$$ f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x} $$

2

$\frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n}$ 必然夹在 $\frac{f(b_n)-f(0)}{b_n-0}$ 与 $\frac{f(a_n)-f(0)}{a_n-0}$ 之间由夹逼定理可知, $$ \lim_{n\to\infty}\frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n}=f'(0) $$

7

$$ \begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}\left(\frac{f(a+1/n)}{f(a)}\right)\\ =&1+\lim_{n\to\infty}\left(\frac{f(a+1/n)-f(a)}{f(a)}\right)\\ =&1+\lim_{n\to\infty}\left(\frac{f(a+1/n)-f(a)}{1/n}\right)\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1/n}{f(a)}\right)\\ =&1+f'(a)\cdot0\\ =&1 \end{aligned} $$

8

根据定义有
$$ f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)\varphi(x)}{x-a}=\varphi(a) $$

$$ g'(a)=\lim_{x\to a}\frac{|x-a|\varphi(x)}{x-a}=\varphi(a)=-\varphi(a) $$

这说明至少 $\varphi(a)=0$ .同时若 $\varphi(a)=0$ , 那么带入上面的式子有
$$ g'(a)=0 $$

9

根据定义
$$ f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x^\lambda\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to0}x^{\lambda-1}\sin\frac{1}{x} $$
我们已知当 $\lambda>0$ 时 $\lim_{x\to0}x^\lambda=0$ , $\lambda<0$ 时 $\lim_{x\to0}x^\lambda=\infty$ . 这就证明了命题.