(史济怀) 数学分析教程上册第 3 版-练习题 1.3
1
(1)
不能.
(2)
发散.
(3)
发散.
(4)
既可以收敛也可以发散.
(5)
$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 都不一定收敛. # 2 对于 $\epsilon'>0$, 存在 $N\in\mathbb{Z}^*$ , 使得当 $n>N$ 时, 有 $|a_n-a|<\epsilon'$ , 因此有 $|a_{n+1}-a_{n}|<|a_{n+1}-a|+|a-a_{n}|<2\epsilon'$, 因此只需 $\epsilon'$ 取得足够小, 就有 $$ \frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}<\frac{2\epsilon'}{a+\epsilon'}<\epsilon $$证毕.
3
(1)
$$ \frac{3^n+(-2)^n}{3^{n+1}+(-2)^{n+1}}=\frac{1+\left(\frac{-2}{3}\right)^n}{3+\left(\frac{-2}{3}\right)^n\cdot(-2)} $$利用极限的四则运算可得出极限为 $\frac{1}{3}$.
(3)
将 $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ 转换为 $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$ 即可.
(4)
$$ 1<(\sqrt{n^2+n}-n)^{1/n}<\sqrt{n}^{1/n}(5)
$$ 1-\frac{1}{n}<\left(1-\frac{1}{n}\right)^{1/n}<1 $$于是极限为 1.
(7)
$$ \arctan n<(\arctan n)^{1/n}<1 $$极限为 1.
4
(3)
利用 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .
(4)
注意到
$$ \frac{2+3}{1+2+3+4}=\frac{2}{4}, \frac{2+3+4}{1+2+3+4+5}=\frac{3}{5},\dots $$因此
$$
\begin{aligned}
\frac{2}{1+2}\frac{2+3}{1+2+3}\frac{2+3+4}{1+2+3+4}\dots&=\frac{2}{18}\frac{2}{4}\frac{3}{5}\frac{4}{7}\dots \frac{(n+2)(n-1)}{2}\\
&=\frac{1}{9}\frac{6}{n(n-1)}\frac{(n+2)(n-1)}{2}\\
&=\frac{1}{3}\frac{n+2}{n-1}
\end{aligned}
$$
因此极限为 $\frac{1}{3}$ .
(6)
,$(1-x)(1+x)=(1-x^2),(1-x^2)(1+x^2)=(1-x^4)\dots$ 直接滚雪球.
5
(1)
令 $b=ka,(k\geqslant 1)$ , 那么就有
$$ ((1+k^n)a^n)^{1/n}=\sqrt[n]{1+k^n}a $$由于 $k<\sqrt[n]{1+k^n}<\sqrt[n]{2k^n}=\sqrt[n]2k$ , 因此极限为 $ka=b$ .
(2)
类似 (1) , 极限为 $\max(a_1,a_2,\dots,a_m)$ .
6
$$ \frac{na_n-1}{n}\leqslant\frac{[na_n]}{n}\leqslant\frac{na_n}{n} $$易证.
7
存在 $N$ , 使得 $n>N$ 时, 有 $|a_n-a|<\epsilon$ . 因此就有
$$ (a_1a_2\dots a_n)^{1/n}<(a_1a_2\dots a_{N}(a+\epsilon)^{n-N})^{1/n}=(a_1a_2\dots a_N)^{1/n}(a+\epsilon)^{1-\frac{N}{n}} $$只需 $n$ 取足够大 , $\epsilon$ 取足够小即可小于任意给定正数.
8
比较容易的就不写了.
(2)
当 $a>1$ 时, 构造数列 $\{a_n\}=\{a,\frac{a+1}{a}, \frac{a+2}{a+1},\dots\}$ , 显然 $\lim_{n\to\infty}a_n=1$ . 于是
$$ 1当 $a<1$ 时, 构造数列 $\{a_n\}=\{a,\frac{a-a/2}{a}, \frac{a-a/4}{a-a/2},\dots\}, (a_n=\frac{a-a/2^{n-1}}{a-a/2^{n-2}}, n>1)$ , 同样流程 (夹逼) .
(3)
构造数列 $\{a_n\}=\{1,\frac{2}{1}, \frac{3}{2},\dots\}$ , 显然 $\lim_{n\to\infty}a_n=1$ . 于是
$$ n^{1/n}=(a_1a_2\dots a_n)^{1/n} $$易证.
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运用例 4 可证.
10
极限的四则运算.
11
整理并利用例 4 可证.
12
这题想了很久利用例 4 来证, 结果是用夹逼… (说实话我觉得好多夹逼都有点奇技淫巧)
$$ \frac{\frac{k}{n^2}}{2\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}}<\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1=\frac{\frac{k}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}+1}<\frac{k}{2n^2} $$易得 $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{2n^2}=\frac{1}{4}$ .
而
$$
\frac{\frac{k}{n^2}}{2\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}}>\frac{\frac{k}{n^2}}{2\sqrt{1+\frac{1}{n}}}
$$
因此
$$
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{\frac{k}{n^2}}{2\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}}<\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{\frac{k}{n^2}}{2\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{4}=\frac{1}{4}
$$
因此极限为 $1/4$ .
