(史济怀) 数学分析教程上册第 3 版-练习题 1.2
1
只做部分, 且不完全做完因为我懒.
(3)
$$ \frac{n!}{n^n}<\frac{1}{n} $$于是显然成立.
(5)
$$ \frac{2n+3}{5n-10} = \frac{2}{5}+\frac{7}{5n-10} $$显然成立.
(9)
取 $N=[\tan( \frac{\pi}{2}-\epsilon)]+1$, 那么当 $n>N$ 时, $\arctan n>\frac{\pi}{2}-\epsilon$ , 等价于 $|\arctan n-\frac{\pi}{2}|<\epsilon$ , 因此成立.
2
狄利克雷函数.
3
令 $\lim_{n\to\infty}a_n=a$ , $a$ 显然是个整数, 如若不然, $|a_n-a|\geqslant \max{(a-[a], [a]+1-a)}$ , 数列不收敛. 当 $a$ 为整数时, 若从某项起数列的项都等于一个常数 $b$ , 由收敛的定义得显然数列收敛且 $\lim_{n\to\infty}a_n=a=b$ . 若不存在某项使得在这项之后的项都等于一个常数, 那么 $|a_n-a|\geqslant 1$ , 原数列显然不收敛.
4
(1)
不可以. 只需令这无限多个正数都大于 1 即可.
(2)
不可以, 书里明确说了, 考虑的是 “小的方面” .
(3)
可以, 理由同上.
(4)
可以, 只需令 $k>[\frac{1}{\epsilon}]+1$ 即可.
(5)
可以.对于任意的 $\epsilon'>0$ , 只需取 $\epsilon=\delta<\epsilon'$ , 并取 $N$ 使得这有限多项全在 $N$ 项之前即可.
5
$a$ 是一个实数, 如果存在 $\epsilon>0$ , 使得对于任取的 $N\in\mathbb{N^*}$ , 都存在 $n>N$ 使得 $$ |a_n-a|>\epsilon $$6
对于任意的 $\epsilon>0$ , 存在 $N'$ 使得当 $n>N$ 时, $\frac{a_n}{n}<\epsilon$ , 那么只需找到 $N\geqslant N'$ 使得 $\max(a_1, a_2, \dots, a_N, a_{N+1})=a_{N+!}$ , 先假设可以找到这样的 $N$ , 那么当 $n>N$ 时, 假设 $a_k=\max(a_1, a_2, \dots,a_{n})$ 那么就有
$$
\frac{\max(a_1, a_2, \dots,a_{n})}{n}\leqslant\frac{a_k}{k}<\epsilon
$$
若无法找到这样的 $N$ , 那么说明数列在 $N$ 项之后是不单调递增的, 因此 $\max(a_1, a_2, \dots,a_{n})\leqslant\max(a_1, a_2, \dots,a_{N})=a_k, k\in\{1,2,3,\dots,N\}$ .因此只需取 $N=\left[\frac{a_k}{\epsilon}\right]+1$ 即可.
7
$$ \begin{aligned} \because a_n-b_n=\frac{b_{n-1}-a_{n-1}}{2}\\ \therefore \lim_{n\to\infty}a_n-b_n=0\\ \forall\epsilon>0, \exist N\in\mathbb{Z}^*, |a_n-b_n|<\epsilon \end{aligned} $$对 $a_n-c_n$ 做同样讨论, 最终得到 由于 $a_n+b_n+c_n=a+b+c$ , 因此
$$
\exist N\in\mathbb{Z}^*,a_n-\epsilon
$$
3a_n-2\epsilon
$$
3a_n-2\epsilon
$$
\left|\frac{a+b+c}{3}-a_n\right|<\frac{2}{3}\epsilon<\epsilon
$$
因此 $\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{a+b+c}{3}$ . 同理得其他两个数列的极限.
