一

问题

设 $n$ 为正整数, 且 $x\geqslant 0$ , $y\geqslant 0$ . 求证: 当 $n>1$ 时,
$$
\frac{x^n+y^n}{2}\geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^n,
$$
等号当且仅当 $x=y$ 时成立.

证明

当 $n=1$ 时, 显然成立.

假设 $n=k$ 时命题成立, 那么有
$$
\begin{aligned}
\left(\frac{x+y}{2}\right)^{k+1}&=\left(\frac{x+y}{2}\right)^{k}\frac{x+y}{2}\\
&\leqslant\left(\frac{x^k+y^k}{2}\right)\frac{x+y}{2}\\
&=\frac{x\cdot x^k+x\cdot y^k+y\cdot x^k+y\cdot y^k}{4}
\end{aligned}
$$
又由于
$$
(y-x)y^k\geqslant(y-x)x^k
$$
对任意 $x,y$ 皆成立, 因此
$$
\begin{aligned}
(y-x)y^k&\geqslant(y-x)x^k\\
x\cdot x^k+y\cdot y^k&\geqslant x\cdot y^k+y\cdot x^k\\
\frac{x\cdot x^k+y\cdot y^n}{2}&\geqslant\frac{x\cdot x^k+x\cdot y^k+y\cdot x^k+y\cdot y^k}{4}\\
\frac{x^{k+1}+y^{k+1}}{2}&\geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{k+1}
\end{aligned}
$$
​

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二

问题

设数列 ${x_n}$ 满足 $\lim_{n\to\infty} (x_n-x_{n-2})=0$ , 求证:
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{x_n - x_{n-1}}{n} =0
$$

证明

若能证明 $\lim_{n\to \infty}x_n/n = 0$ , 则有
$$
\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{n} -\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n-1}}{n}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{n} -\frac{n-1}{n}\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n-1}}{n-1}\\
&=0
\end{aligned}
$$
由 $\lim_{n\to\infty} (x_n-x_{n-2})=0$ 得: $\forall\epsilon>0, \exist N’, n>N\Rightarrow|x_{2n}-x_{2n-2}|<\epsilon.$ 运用绝对值不等式有
$$
\left|x_{2n}-A\right|<(n-N’)\epsilon
$$
其中 $A=\sum_{i=1}^{N’}x_{2i}$ 是个定值.
$$
\therefore\left|\frac{x_{2n}}{2n}-\frac{A}{2n}\right|<\frac{\epsilon}{2}-\frac{N’\epsilon}{2n}
$$
让 $n\to\infty$ 可得
$$
\begin{aligned}
\left|\frac{x_{2n}}{2n}-0\right|&\leqslant\frac{\epsilon}{2}\\
\left|\frac{x_{2n}}{2n}-0\right|&<\epsilon
\end{aligned}
$$
因此有 $\lim_{n\to \infty}x_{2n}/(2n) = 0$ . 同理 得 $\lim_{n\to \infty}x_{2n-1}/(2n-1) = 0$ .

因此 $\lim_{n\to \infty}x_n/n = 0$ , 因此
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{x_n - x_{n-1}}{n} =0
$$
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三

问题

(Toeplitz (特普利兹, 1881~1940) 定理) 设 $n,k\in N^*$ 时, $t_{nk}\geqslant 0$ , 且 $\sum_{k=1}^n t_{nk}=1,\lim_{n\to\infty}t_{nk}=0$ . 如果 $\lim_{n\to\infty}a_n = a$ , 令
$$
x_n=\sum_{k=1}^nt_{nk}a_k,
$$
试证:
$$
\lim_{n\to\infty}x_n=a
$$

证明

 $\because \lim_{n\to\infty}a_n=a\ \therefore\forall\epsilon_1’>0,\exist N’,$ 使 $n>N’$ 时 $|a_n-a|<\epsilon_1’$.

取 $N=\max(N_1,N_2,\dots,N_{N’})$,

 $\because\lim_{n\to\infty}t_{nk}=0\ \therefore\forall\epsilon_2’>0,\exist N_1,N_2,\dots,N_{N’},$ 使 $n>N$ 时有 $|t_{nk}|<\epsilon_2’\ (k\in{1,2,3,\dots,N’})$

 $\because x_n=\sum_{k=1}^nt_{nka_k}=\sum_{k=1}^{N’}t_{nk}a_k+\sum_{k=N’}^nt_{nk}a_k,$ 且由上有
$$
\begin{aligned}
\left|\sum_{k=1}^{N’}t_{nk}a_k\right|<\epsilon_2’\sum_{k=1}^{N’}a_k,\\
\left|\sum_{k=N’}^{n}t_{nk}a_k-a\sum_{k=N’}^nt_{nk}\right|<\epsilon_1’\sum_{k=N’}^nt_{nk}
\end{aligned}\\
$$

$$
\begin{aligned}
&\because \sum_{k=1}^{N’} t_{nk}+\sum_{k=N’}^n t_{nk}=1\\
&\therefore\left|\sum_{k=N’}^nt_{nk}-1\right|<N’\epsilon_2’\\
&\therefore\left|x_n-a-N’\epsilon_1’\epsilon_2’\right|<\epsilon_2’\sum_{k=1}^{N’}a_k+\epsilon_1’+aN’\epsilon_2’\\
\end{aligned}
$$

 $\therefore \forall\epsilon>0,;令;\epsilon_2’\to0,;有\left|x_n,-a\right|\leqslant\epsilon_1’,$ 此时只需取 $ \epsilon_1’<\epsilon$ 即有 $\left|x_n,-a\right|\leqslant\epsilon.$

 $\therefore \lim_{x\to\infty}x_n=a$

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四

问题

设 ${a_n}$ 是一个正数数列. 如果
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}+a_{n+2}}{a_n}=+\infty,
$$
那么 ${a_n}$ 必为无界数列.

证明

易知
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}+a_{n+2}}=0
$$

 $\therefore$ 取 $\epsilon=\frac{1}{4},$ 存在 $N,$ 使 $n>N$ 时, 有​ $ a_n<\frac{1}{4}(a_{n+1}+a_{n+2}).$

易知 $a_{n+1}$ 与 $a_{n+2}$ 中至少有一个大于 $2a_n,$ 否则有 $ 4a_n<a_{n+1}+a_{n+2}<4a_n$ 显然矛盾.

令 $N_0$ 等于 $N+1.$ 取 $N_1$ 满足 $a_{N_1}>2a_{N_0},N_1\in{N_0+1,N_0+2}.$ 对 $N_1$ 作同样讨论, 有
$$
\begin{aligned}2a_{N_0}<a_{N_1},2a_{N_1}<a_{N_2},2a_{N_2}<a_{N_3},\dots\\N_0<N_1<N_2<\cdots,\end{aligned}
$$
因此 ${a_n}$ 存在一子列 ${a_{N_n}}, (n-0,1,2,\dots),$ 且 $a_{N_n}>2^na_{N_0}$
 $\therefore{a_{N_n}}$ 是无界的.
 $\therefore{a_n}$ 是无界的.

 $\blacksquare$