一

问题

设 $\,n\,$ 为正整数, 且 $\,x\geqslant 0\,$ , $\,y\geqslant 0\,$ . 求证: 当 $\,n>1\,$ 时,

$\frac{x^n+y^n}{2}\geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^n,$

等号当且仅当 $\,x=y\,$ 时成立.

证明

当 $\,n=1\,$ 时, 显然成立.

假设 $\,n=k\,$ 时命题成立, 那么有

$\begin{aligned} \left(\frac{x+y}{2}\right)^{k+1}&=\left(\frac{x+y}{2}\right)^{k}\frac{x+y}{2}\\ &\leqslant\left(\frac{x^k+y^k}{2}\right)\frac{x+y}{2}\\ &=\frac{x\cdot x^k+x\cdot y^k+y\cdot x^k+y\cdot y^k}{4} \end{aligned}$

又由于

$(y-x)y^k\geqslant(y-x)x^k$

对任意 $\,x,y\,$ 皆成立, 因此

$\begin{aligned} (y-x)y^k&\geqslant(y-x)x^k\\ x\cdot x^k+y\cdot y^k&\geqslant x\cdot y^k+y\cdot x^k\\ \frac{x\cdot x^k+y\cdot y^n}{2}&\geqslant\frac{x\cdot x^k+x\cdot y^k+y\cdot x^k+y\cdot y^k}{4}\\ \frac{x^{k+1}+y^{k+1}}{2}&\geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{k+1} \end{aligned}$

$\,\blacksquare\,$

二

问题

设数列 $\,\{x_n\}\,$ 满足 $\,\lim_{n\to\infty} (x_n-x_{n-2})=0\,$ , 求证:

$\lim_{n\to\infty} \frac{x_n - x_{n-1}}{n} =0$

证明

若能证明 $\,\lim_{n\to \infty}x_n/n = 0\,$ , 则有

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{n} -\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n-1}}{n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{n} -\frac{n-1}{n}\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n-1}}{n-1}\\ &=0 \end{aligned}$

由 $\,\lim_{n\to\infty} (x_n-x_{n-2})=0\,$ 得: $\,\forall\epsilon>0, \exist N', n>N\Rightarrow|x_{2n}-x_{2n-2}|<\epsilon.\,$ 运用绝对值不等式有

$\left|x_{2n}-A\right|<(n-N')\epsilon$

其中 $\,A=\sum_{i=1}^{N'}x_{2i}\,$ 是个定值.

$\therefore\left|\frac{x_{2n}}{2n}-\frac{A}{2n}\right|<\frac{\epsilon}{2}-\frac{N'\epsilon}{2n}$

让 $\,n\to\infty\,$ 可得

$\begin{aligned} \left|\frac{x_{2n}}{2n}-0\right|&\leqslant\frac{\epsilon}{2}\\ \left|\frac{x_{2n}}{2n}-0\right|&<\epsilon \end{aligned}$

因此有 $\,\lim_{n\to \infty}x_{2n}/(2n) = 0\,$ . 同理得 $\,\lim_{n\to \infty}x_{2n-1}/(2n-1) = 0\,$ .

因此 $\,\lim_{n\to \infty}x_n/n = 0\,$ , 因此

$\lim_{n\to\infty} \frac{x_n - x_{n-1}}{n} =0$

$\,\blacksquare\,$

三

问题

(Toeplitz (特普利兹, 1881~1940) 定理) 设 $\,n,k\in N^*\,$ 时, $\,t_{nk}\geqslant 0\,$ , 且 $\,\sum_{k=1}^n t_{nk}=1,\lim_{n\to\infty}t_{nk}=0\,$ . 如果 $\,\lim_{n\to\infty}a_n = a\,$ , 令

$x_n=\sum_{k=1}^nt_{nk}a_k,$

试证:

$\lim_{n\to\infty}x_n=a$

证明

$\,\because \lim_{n\to\infty}a_n=a\ \therefore\forall\epsilon_1'>0,\exist N',\,$ 使 $\,n>N'\,$ 时 $\,|a_n-a|<\epsilon_1'\,$ .

取 $\,N=\max(N_1,N_2,\dots,N_{N'})\,$ ,

$\,\because\lim_{n\to\infty}t_{nk}=0\ \therefore\forall\epsilon_2'>0,\exist N_1,N_2,\dots,N_{N'},\,$ 使 $\,n>N\,$ 时有 $\,|t_{nk}|<\epsilon_2'\ (k\in\{1,2,3,\dots,N'\})\,$

$\,\because x_n=\sum_{k=1}^nt_{nka_k}=\sum_{k=1}^{N'}t_{nk}a_k+\sum_{k=N'}^nt_{nk}a_k,\,$ 且由上有

$\begin{aligned} \left|\sum_{k=1}^{N'}t_{nk}a_k\right|<\epsilon_2'\sum_{k=1}^{N'}a_k,\\ \left|\sum_{k=N'}^{n}t_{nk}a_k-a\sum_{k=N'}^nt_{nk}\right|<\epsilon_1'\sum_{k=N'}^nt_{nk} \end{aligned}\\$ $\begin{aligned} &\because \sum_{k=1}^{N'} t_{nk}+\sum_{k=N'}^n t_{nk}=1\\ &\therefore\left|\sum_{k=N'}^nt_{nk}-1\right|<N'\epsilon_2'\\ &\therefore\left|x_n-a-N'\epsilon_1'\epsilon_2'\right|<\epsilon_2'\sum_{k=1}^{N'}a_k+\epsilon_1'+aN'\epsilon_2'\\ \end{aligned}$

$\,\therefore \forall\epsilon>0,\;令\;\epsilon_2'\to0,\;有\left|x_n,-a\right|\leqslant\epsilon_1',\,$ 此时只需取 $\, \epsilon_1'<\epsilon\,$ 即有 $\,\left|x_n,-a\right|\leqslant\epsilon.\,$

$\,\therefore \lim_{x\to\infty}x_n=a\,$

$\,\blacksquare\,$