一
问题
设为正整数, 且,. 求证: 当时,
等号当且仅当时成立.
证明
当时, 显然成立.
假设时命题成立, 那么有
又由于
对任意皆成立, 因此
二
问题
设数列满足, 求证:
证明
若能证明, 则有
由得:运用绝对值不等式有
其中是个定值.
让可得
因此有. 同理 得.
因此, 因此
三
问题
(Toeplitz (特普利兹, 1881~1940) 定理) 设时,, 且. 如果, 令
试证:
证明
使时.
取,
使时有
且由上有
此时只需取即有
四
问题
设是一个正数数列. 如果
那么必为无界数列.
证明
易知
取存在使时, 有
易知与中至少有一个大于否则有显然矛盾.
令等于取满足对作同样讨论, 有
因此存在一子列且
是无界的.
是无界的.