问题

为正整数, 且,. 求证: 当时,

等号当且仅当时成立.

证明

时, 显然成立.

假设时命题成立, 那么有

又由于

对任意皆成立, 因此

 

问题

设数列满足, 求证:

证明

若能证明, 则有

得:运用绝对值不等式有

其中是个定值.

可得

因此有. 同理 得.

因此, 因此

 

问题

(Toeplitz (特普利兹, 1881~1940) 定理) 设时,, 且. 如果, 令

试证:

证明

 使.

,

 使时有

 且由上有

 此时只需取即有

 

 

问题

是一个正数数列. 如果

那么必为无界数列.

证明

易知

 存在使时, 有​

易知中至少有一个大于否则有显然矛盾.

等于满足作同样讨论, 有

因此存在一子列
 是无界的.
 是无界的.